Question

如圖，線段AC與BD交于O，DO=DC，AO=AB，E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)
（1）如圖1，當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，EG與FG的數(shù)量關(guān)系是

 

，∠EGF=

 

；
如圖2，當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，EG與FG的數(shù)量關(guān)系是

 

，∠EGF=

 

；
（2）如圖3，當(dāng)∠AOB=θ時(shí)，EG與FG的數(shù)量關(guān)系是

 

，∠EGF=

 

；
（3）請你從上述三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)結(jié)論加以證明

Answer 1

分析：（1）由DO=DC，AO=AB，∠DOC=∠AOB=60°，可得：△DOC與△AOB是等邊三角形，由三線合一可得DF⊥AC，AE⊥BD，又由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，可得EG=FG，又由DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，利用等邊對等角，即可求得∠FGE的度數(shù)；∠AOB=45°時(shí)，方法一樣；
（2）與（1）的方法類似，注意此時(shí)△DOC與△AOB是等腰三角形，由等腰三角形中的三線合一仍可求得結(jié)果．
（3）根據(jù)以上分析證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，
證明：連接DF與EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=60°，
∴△DOC與△AOB是等邊三角形，
∵E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAO=60°，
∴AB∥CD，
∴∠CDA+∠DAB=180°，
∵∠CDO=

1

2

∠CDA=∠OAB=

1

2

BAO=30°，
∴∠ADF+∠EAG=120°，
∵DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=120°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=240°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=120°，
∴∠FGE=60°；

當(dāng)∠AOB=45°時(shí)，
證明：連接DF與EG，
∵DO=DC，AO=AB，
∵∠DOC=∠AOB=45°，
∴△DOC與△AOB是等腰直角三角形，
∵E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

AD，
∴EG=FG，
∵∠DCO=∠BAE=45°，
∴AE∥CD，
∴∠CDA+∠DAE=180°，
∵∠CDO=

1

2

∠CDO=∠OAB=

1

2

BAO=45°，
∴∠ADF+∠EAG=135°，
∵DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=135°，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=270°，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=190°，
∴∠FGE=90°；

（2）當(dāng)∠AOB=θ時(shí)，
證明：連接DF與AE，
∵DO=DC，AO=AB，∵∠DOC=∠AOB=∠DCO=∠ABO=θ，
∴△DOC與△AOB是等腰三角形，
∵E，F(xiàn)，G分別是OB，OC，AD中點(diǎn)，
∴DF⊥AC，AE⊥BD，
∴EG=

1

2

AD，F(xiàn)G=

1

2

AD，
∴EG=FG，
∵∠FDO=∠EAO=90°-θ，
∴∠ODA+∠OAD=θ，
∴∠FDA+∠EAD=180°-θ，
∵DG=GF=AG=EG=

1

2

AD，
∴∠DFG=∠GDF，∠AEG=∠GAE，
∴∠DFG+∠AEG=∠ADF+∠EAG=180°-θ，
∴∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG=360°-2θ，
∴∠DGF+∠AGE=360°-（∠DFG+∠AEG+∠ADF+∠EAG）=180°-2θ，
∴∠FGE=180°-2θ．
故答案為：（1）EG=FG，60°；  EG=FG，90°；
（2）EG=FG，180°-2θ；
（3）選擇證明即可．

點(diǎn)評：此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．題目難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．