Question

【題目】如圖，拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E（0，3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)F（0，﹣3），在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）存在，G（1，0）．

【解析】

（1）根據(jù)題目可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入值求解

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性找對(duì)稱點(diǎn)，可求得E'F的解析式，即可求得G點(diǎn)坐標(biāo).

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y=a（x﹣1）2+4，

把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，

a=﹣1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；

（2）存在，

如圖1，作E關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'F交對(duì)稱軸于G，此時(shí)EG+FG的值最小，

∵E（0，3），

∴E'（2，3），

易得E'F的解析式為：y=3x﹣3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=3×1﹣3=0，

∴G（1，0）