Question

如圖；AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，AC⊥BD于點(diǎn)O；
（1）求證：S_{四邊形ABCD}=AC•BD；
（2）若AC+BD=10，當(dāng)AC，BD的長(zhǎng)是多少時(shí)，四邊形ABCD的面積最大？

Answer 1

（1）證明：∵AC⊥BD，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，
=AC•OB+AC•OD，
=AC（OB+OD）
=AC•BD；

（2）解：設(shè)AC=x，∵AC+BD=10，
∴BD=10-x，
∴四邊形ABCD的面積=x（10-x）=-（x²-10x）=-（x-5）²+，
∵-＜0，
∴當(dāng)x=5時(shí)，四邊形ABCD的面積有最大值，
此時(shí)AC=5，BD=5．
分析：（1）把四邊形ABCD分成△ABC和△ACD兩部分，利用三角形的面積公式列式整理即可得證；
（2）設(shè)AC=x，表示出BD，再根據(jù)（1）的結(jié)論整理，然后利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，三角形的面積，把四邊形的面積分成兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵，也是此類題目常用的方法之一．