Question

數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出一種“三等分銳角”的方法，步驟如下：
①將銳角∠AOB置于平面直角坐標(biāo)系中，其中以點O為坐標(biāo)原點，邊OB在x軸上；
②邊OA與函數(shù)y=

1

x

(x＞0)的圖象交于點P，以P為圓心，2倍OP的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)部交函數(shù)y=

1

x

(x＞0)的圖象于點R；
③過點P作x軸的平行線，過點R作y軸的平行線，兩直線相交于點M，連結(jié)OM．則∠MOB=

1

3

∠AOB．
請根據(jù)以上材料，完成下列問題：

（1）應(yīng)用上述方法在圖1中畫出∠AOB的三等分線OM；
（2）設(shè)P(a，

1

a

)，R(b，

1

b

)，求直線OM對應(yīng)的函數(shù)表達式（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（3）證明：∠MOB=

1

3

∠AOB；
（4）應(yīng)用上述方法，請嘗試將圖2所示的鈍角三等分．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意所述步驟即可作出∠AOB的三等分線OM；
（2）根據(jù)點P、點R的坐標(biāo)可得出點M的坐標(biāo)，繼而可得出直線OM的解析式．
（3）過點P作y軸的平行線，過點R作x軸的平行線，兩線相交于點Q，根據(jù)點Q的坐標(biāo)可確定點Q在直線OM上，則可得四邊形PQRM是矩形，由∠PON=∠PNO=2∠PMN=2∠MOB，可得出結(jié)論；
（4）方法不止一種，可以按照題意敘述的方法進行作圖．

解答：（1）解：如圖所示：
；

（2）解：由圖1可得點M的坐標(biāo)為（b，

1

a

），
故可得直線OM的表達式為：y=

1

ab

x．

（3）證明：過點P作y軸的平行線，過點R作x軸的平行線，兩線相交于點Q，

則點Q的坐標(biāo)為（a，

1

b

），
∴點Q在OM上，
∴四邊形PQRM是矩形，
∴PN=

1

2

PR=OP，
∴MQ=PR，
∴PN=MN，
∴∠MOB=∠PMN=

1

2

∠PNO=

1

2

∠AOM，
∴∠MOB=

1

3

∠AOB．

（4）解：邊OA與函數(shù)y=-

1

x

（x＜0）的圖象交于點P，以點P為圓心，2OP的長為半徑作弧，
在第四象限交函數(shù)y=-

1

x

（x＞0）的圖象于點R，
過點P作x軸的平行線，過點R作y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM，則∠MOB=

1

3

∠AOB．．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了代行系數(shù)法求直線解析式的知識，解答本題的關(guān)鍵是仔細讀題，明白題目給出的信息，在解題時注意活學(xué)活用．