Question

（1）“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問(wèn)題，但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”．但對(duì)于特定度數(shù)的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺規(guī)進(jìn)行三等分的．如圖a，∠AOB=90°，我們?cè)谶匫B上取一點(diǎn)C，用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三等分．仔細(xì)體會(huì)一下其中的道理，然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分（已知∠MON=45°）．（不需寫(xiě)作法，但需保留作圖痕跡，允許適當(dāng)添加文字的說(shuō)明）

（2）數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)y=

1

x

的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心、2OP長(zhǎng)為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R．分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=

1

3

∠AOB．要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問(wèn)題：
①設(shè)P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

），求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（用含a、b的代數(shù)式表示）．
②分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q．請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=

1

3

∠AOB．

Answer 1

分析：（1）邊ON上取一點(diǎn)A，用尺規(guī)以O(shè)A為一邊向∠MON的外部作等邊△OAB，用尺規(guī)作出∠AOB的角平分線OC，再用尺規(guī)作出∠CON的角平分線OD，則射線OD、OC將∠MON三等分．
（2）①直線OM是正比例函數(shù)，可利用所給的坐標(biāo)得到M的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式即可；
②根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo)得到Q的坐標(biāo)，看是否符合（1）中的函數(shù)解析式；運(yùn)用矩形的性質(zhì)，作圖過(guò)程中的條件，外角與不相鄰內(nèi)角的關(guān)系，即可求證．

解答：解：（1）
我們?cè)谶匫N上取一點(diǎn)A，用尺規(guī)以O(shè)A為一邊向∠MON的外部作等邊△OAB，用尺規(guī)作出∠AOB的角平分線OC，再用尺規(guī)作出∠CON的角平分線OD，則射線OD、OC將∠MON三等分．
（2）①設(shè)直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=kx，P（a，

1

a

）、R（b，

1

b

）．（1分）
則M（b，

1

a

），
∴k=

1

a

÷b=

1

ab

．（2分）
∴直線OM的函數(shù)關(guān)系式為y=

1

ab

x．（3分）
②∵Q的坐標(biāo)（a，

1

b

）、滿足y=

1

ab

x，
∴點(diǎn)Q在直線OM上．
∵四邊形PQRM是矩形，
∴SP=SQ=SR=SM=

1

2

PR．
∴∠SQR=∠SRQ．（5分）
∵PR=2OP，
∴PS=OP=

1

2

PR．
∴∠POS=∠PSO．（6分）
∵∠PSQ是△SQR的一個(gè)外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．
∴∠POS=2∠SQR．（7分）
∵QR∥OB，
∴∠SOB=∠SQR．（8分）
∴∠POS=2∠SOB．（9分）
∴∠SOB=

1

3

∠AOB．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，過(guò)某個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個(gè)函數(shù)解析式．注意使用作圖過(guò)程中利用的條件．