Question

已知：如圖1，△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，OA在x軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)；△OCA是一個(gè)等腰三角形，OC＝AC，頂點(diǎn)C在第四象限，∠C＝120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．

（1）求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

（2）在OA上（點(diǎn)O、A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2，現(xiàn)有∠MCN＝60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連接MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過(guò)程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒(méi)有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（2）或  （3）的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，周長(zhǎng)為4

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D． ……………………………………1分

∵OC=AC，∠ACO=120°，∴∠AOC=∠OAC=30°．

      ∵，， ∴．

   在Rt中，  ………………………2分

 （1）當(dāng)時(shí)，,,；

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

     在Rt中，∵，∴，……………………3分

∴．

  即 ．……………………………………………………………4分

   （2）當(dāng)時(shí)，

，．……………………………………………………5分

∵，，∴．

∴．

即．………………………………………………………………6分

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

（2）或         ……………………………………………8分

（3）的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．

延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)．………………………………9分

∵，∴≌．

∴，  …………………………………………10分

       ∴．

        ∴． 又∵．

   ∴≌．∴   ……………………………………11分

∴．

∴的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4   ……………………………………12分

（1）分P點(diǎn)在AO、BO邊兩種情況進(jìn)行討論；

（2）分OD=OC、CD=CD兩種情況進(jìn)行討論；

（3）利用等量代換得出三個(gè)邊之和為一定值，說(shuō)明的周長(zhǎng)不變。