Question

【題目】如圖所示，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的紙片，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上．已知，．將紙片的直角部分翻折，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，為折痕，點(diǎn)在軸上．

（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，________，________；

（2）線段上有一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）自點(diǎn)沿方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求四邊形的面積與時(shí)間之間的函數(shù)表達(dá)式．當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？

（3）當(dāng)為何值時(shí)，，，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形？并求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，最大；（3）時(shí)，的坐標(biāo)為；時(shí)，M的坐標(biāo)為

【解析】

（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，以及對(duì)應(yīng)角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據(jù)題意表示出AP的長(zhǎng)，進(jìn)而得到PD的長(zhǎng)，又由平行得到兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長(zhǎng)，由矩形的面積公式長(zhǎng)乘以寬和表示出的長(zhǎng)DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時(shí)t的值即可；
（3）根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)有兩種情況滿足△ADM為等腰三角形，①當(dāng)MD=MA時(shí)，P為AD中點(diǎn)，由AD求出AP，進(jìn)而根據(jù)速度求出此時(shí)t的值，此時(shí)三角形AMD為等腰三角形，過(guò)M作MF垂直于x軸，根據(jù)證明△APM≌△AFM，求出MF=MP，即為M的縱坐標(biāo)，求出FA，進(jìn)而求出OF的長(zhǎng)，即為M的橫坐標(biāo)，寫(xiě)出M的坐標(biāo)即可；②當(dāng)AD=AM=3時(shí)，由平行的兩對(duì)同位角相等，進(jìn)而得到△AMP∽△AED，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式，求出AP的長(zhǎng)，由速度求出此時(shí)t的值，此時(shí)三角形AMD為等腰三角形，過(guò)M作MF垂直于x軸，證明△APM≌△AFM，同理可得M的坐標(biāo)．

解：（1）據(jù)題意，△AOE≌△ADE，
∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
設(shè)DE=OE=x，在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD2+DE2=BE2，
即22+x2=（4-x）2，解得x＝，

∴E（0，），

在Rt△AOE中，AE＝；

（2），，且，

四邊形是矩形，

，

，

∽，

，

，

，

當(dāng)s時(shí)，；

（3）為等腰三角形有以下兩種情況：

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，

s，

s，

當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，

如圖1，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在△APM和△AFM中

，

（AAS），

，，

，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

②當(dāng)時(shí)，

，

，即，

s，

當(dāng)s時(shí)，，，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，

如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

在△AMF和△AMP中，

，

（AAS），

，，

，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．