Question

【題目】在平面直角坐標系中，為坐標原點，點，點.

（Ⅰ）如圖①，求AB的長；

（Ⅱ）如圖②，把圖①中的繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點O的對應點AM恰好落在OA延長線上，N是點A旋轉(zhuǎn)后的對應點.

①求證：；②求點N的坐標；

（Ⅲ）點C是OB的中點，點D為線段OA上的動點，在繞點B順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點D的對應點是P，求線段CP長的取值范圍（直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析，②；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）過A作，垂足為C，根據(jù)點，點得出AC和BC的長，再根據(jù)勾股得出AB的長

（Ⅱ）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得出，繼而得出結(jié)論

②過N作軸，垂足為E.連接AN，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形AOBN是平行四邊形，得出，再根據(jù)勾股定理求出BE，從而求出點N的坐標；

（Ⅲ）過B作CP⊥AO于P，以B為圓心BP為半徑畫圓交BC于P1，和以B為圓心BO為半徑畫圓交OB的延長線于P2，得出CP的最大和最小值解答即可；

解：（Ⅰ）過A作，垂足為C，

，

.

在中，

（Ⅱ）①由（I）得

由旋轉(zhuǎn)得

②過N作軸，垂足為E.連接AN

，

∴四邊形AOBN是平行四邊形。

在中，.

（III）如圖，過B作CP⊥AO于P，以B為圓心BP為半徑畫圓交BC于P1， CP1有最小值，

此時

∴BP=，∴BP1=，
∴CP1的最小值為 -3=；

以B為圓心BO為半徑畫圓交OB的延長線于P2，，CP 2有最大值；
此時CP2=BC +BP2=3+6=9．

線段CP長的取值范圍: .