Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為C，與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，且tan∠ACO=．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）P為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，Q為其對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，QC平分∠PQO，求Q點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）是否存在實(shí)數(shù)、（），當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為？若存在，直接寫在、的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）Q（，）或（，）；（3），．

【解析】

試題（1）由tan∠ACO=，求出OA的值，即可得出A點(diǎn)的坐標(biāo)；然后把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出b的值，即可得出二次函數(shù)的解析式．

（2）由Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，n）；然后根據(jù)∠OQC=∠CQP、∠CQP=∠OCQ，可得∠OQC=∠OCQ，所以OQ=OC，據(jù)此求出n的值，進(jìn)而得出Q點(diǎn)坐標(biāo)即可．

（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)；然后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法，求出滿足題意的實(shí)數(shù)、（），當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為即可．

試題解析：（1）如圖1，連接AC，

，

∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為C，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，﹣4），∵tan∠ACO=，∴，又∵OC=4，∴OA=1，∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），把A（1，0）代入，可得0=1+b﹣4，解得b=3，∴二次函數(shù)的解析式是：；

（2）如圖2，

，

∵，

∴拋物線的對(duì)稱軸是：，∵Q為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，n），∵拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸，∴∠CQP=∠OCQ，又∵∠OQC=∠CQP，∴∠OQC=∠OCQ，∴OQ=OC，∴，∴，解得n=，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)是（，）或（，）．

（3）①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)單調(diào)遞減，∵y的取值范圍為，∴，由，解得=﹣3，﹣2，2，由，解得=﹣3，﹣2，2，∵，∴；

②當(dāng)時(shí)，

Ⅰ、當(dāng)時(shí)，可得，∵y的取值范圍為，

∴，由①，可得，由②，可得=﹣3，﹣2，2，∵，，∴沒(méi)有滿足題意的、；

Ⅱ、當(dāng)時(shí)，可得，∵y的取值范圍為，

∴，解得：，∵≈﹣1.98﹣1.92=﹣3.9＜﹣3，∴沒(méi)有滿足題意的、．

③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)單調(diào)遞增，∵y的取值范圍為，∴，①×﹣②×，可得：，∵≠0，∴=0，∴③，把③代入①，可得：，∵，∴，∴，∵，∴沒(méi)有滿足題意的、．

綜上，可得：，，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為．