Question

有很多白色或黑色的棱長是1厘米的小正方體．取其中的27個，拼成一個棱長是3厘米的大正方體，每個面都各用2個黑色的小正方體拼成相同的圖案，見例圖．例圖中正方體的每一個面的圖案相同，用8個或9個黑色的小正方體就可以拼成例圖中的大正方體．除例圖之外，還可以用27塊小正方體拼成每面是其它圖案的大正方體，且大正方體六個面的圖案相同．請回答：
（1）拼成的大正方體的每一個面的圖案，有可能是下面①-⑦圖的那些圖形？
（2）在上一問中可以按要求拼成的大正方體各用了幾個黑色的小正方體？

Answer 1

分析：根據(jù)每個小正方體在大正方體的表面露出面的個數(shù)多少，可以把組成大正方體的27個小正方體分成四類，第一類是在大正方體的頂點處的小正方體，有8個，每個露出3個面；第二類是在大正方體的棱長上的小正方體，有12個，每個露出2個面；第三類是在大正方體的面上的小正方體，有6個，每個露出1個面；第四類是在大正方體的中心的小正方體，有1個，露出0個面；根據(jù)小正方體在大正方體一個表面中露出的圖案位置，可以把大正方體一個面中露出9個小正方體的面分成三類第一類是圓形所在的位置是大正方體的頂點，如果在這個位置出現(xiàn)陰影，在其他兩個面中必定同時出現(xiàn)陰影；第二類是正方形所在的位置是在大正方體的棱長上，如果這個位置出現(xiàn)陰影，另一個表面中對應(yīng)的位置也會出現(xiàn)陰影；第三類是三角形所在的位置是在大正方體的表面上，只出現(xiàn)一次陰影，據(jù)此進行分析即可解答．

解答：解：如圖表示大正方體的六個面，黑色五角星表示是黑色正方體的表面，

情況1：如圖，左面和下面的圖案已經(jīng)符合圖形1的要求，但是后面的另一個黑色陰影只能在白色五角星所在的兩個位置，由左面和下面來看這兩個位置又都不是黑色的小正方體，相矛盾，所以大正方體的六個面不可能都是圖2中的圖案；

情況2：如圖，在下面和左面，都已經(jīng)符合要求，前面的另一個陰影只能是表示五角星所在的兩個位置，相矛盾，所以大正方體的六個面不可能都是圖2中的圖案；

情況3：如圖，大正方體的表面可以是圖3，這種情況下是用了5個黑色小正方體拼成：

情況4：人大正方體的表面可以是圖形4，這種情況下，是用了4個黑色小正方體拼組成的：

情況5：如圖，大正方體的表面可以是圖形5，這種情況下是用了9個黑色小正方體拼組成的：

情況6：如圖，大正方體的表面可以圖形6，這種情況下是用了6個黑色小正方體組成的：

情況7：如圖，上下、前后四個面的圖案都符合圖形7的要求，但是左右兩個面的黑色陰影無論放在哪個位置，都影響原來四個面中的情況，所以大正方體的6個面不可能是圖形7的情況．

點評：此題主要考查立方體的表面染色問題，明確正方體頂點處的小正方體3面涂色，棱長上的小正方體兩面涂色，面上的小正方體一面涂色，是解決本題的關(guān)鍵，再利用平面圖形畫出涂色小正方體的位置，即可分析解答．