Question

【題目】2016 年崇明區(qū)政府投資 8 千萬(wàn)元啟動(dòng)休閑體育新鄉(xiāng)村旅游項(xiàng)目．規(guī)劃從 2017 年起，在今后的若干年內(nèi)，每年繼續(xù)投資 2 千萬(wàn)元用于此項(xiàng)目.2016 年該項(xiàng)目的凈收入為 5 百萬(wàn)元，并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均為上一年的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)．記 2016 年為第 1 年， 為第 1 年至此后第 年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第 年，累計(jì)利潤(rùn)=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元），且當(dāng) 為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．

（1）試求 的表達(dá)式；

（2）根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意知，第一年至此后第年的累計(jì)投入為（千萬(wàn)元），第年至此后第年的累計(jì)凈收入為，利用等比數(shù)列數(shù)列的求和公式可得；（2）由，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

試題解析：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬(wàn)元），

第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)凈收入為+×+×+…+×

=（千萬(wàn)元）．

∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千萬(wàn)元）．

（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，

∴當(dāng)n≤3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜0，故當(dāng)n≤4時(shí)，f（n）遞減；

當(dāng)n≥4時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＞0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f（n）遞增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利．

答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利；

方法二：設(shè)f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），則f′（x）=，

令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．

從而當(dāng)x∈[1，4）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；

當(dāng)x∈（4，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增．

又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．

∴該項(xiàng)目將從第8年開始并持續(xù)贏利．

答：該項(xiàng)目將從2023年開始并持續(xù)贏利．