Question

10．判斷分?jǐn)?shù)$\frac{21n+4}{14n+3}$是不是最簡分?jǐn)?shù)？（n為自然數(shù)）

Answer 1

分析 此題可用反證法證明，先設(shè)21n+4與14n+3的最大公約數(shù)為x，設(shè)21n+4=ax，14n+3=bx，求出只存在最大公約數(shù)1，然后即可證明對任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可約分．

解答 解：設(shè)21n+4與14n+3的最大公約數(shù)為x，
設(shè)21n+4=ax①，14n+3=bx②，（a，b，x均為正整數(shù)），
②×3-①×2得：3bx-2ax=3（14n+3）-2（21n+4），
整理得：（3b-2a）x=1，
因為a，b，x均為正整數(shù)，
所以3b-2a為正整數(shù)，
所以x的值只能為1，
即最大公約數(shù)為1，
所以對任意自然數(shù)n，分?jǐn)?shù)$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可約分，也就是分?jǐn)?shù)$\frac{21n+4}{14n+3}$是最簡分?jǐn)?shù)．
答：分?jǐn)?shù)$\frac{21n+4}{14n+3}$是最簡分?jǐn)?shù)．

點評 本題考查了數(shù)的整除性，此題運用反證法證明21n+4和14n+3的最大公約數(shù)為1，即說明了無論自然數(shù)n取何值，分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可約分，此題考查了同學(xué)們的邏輯思維能力，有一定的難度．