Question

如圖所示，陰影正方形的面積是2平方厘米，以這個(gè)正方形的對角線為邊作第二個(gè)正方形；再以第二個(gè)正方形的對角線為邊作第三個(gè)正方形．照此法依次作下去．問：
（1）第100個(gè)正方形的面積是多少平方厘米？
（2）這100個(gè)正方形的面積之和是多少平方厘米？
（3）這100個(gè)正方形實(shí)際覆蓋的面積是多少平方厘米？

Answer 1

解：（1）由題意得：第二個(gè)正方形的面積是2×2=4=2²，
第三個(gè)正方形的面積是4×2=8=2³，
第四個(gè)正方形的面積是8×2=16=2⁴，
…
依此類推，則S_n=2ⁿ．
所以第100個(gè)正方形的面積是：2¹⁰⁰平方厘米．
答：第100個(gè)正方形的面積是2¹⁰⁰平方厘米；

（2）這100個(gè)正方形的面積之和是：2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-2（平方厘米）；
答：這100個(gè)正方形的面積之和是2¹⁰¹-2平方厘米．

（3）（2¹⁰¹-2）×=2¹⁰⁰-1（平方厘米）．
答：這100個(gè)正方形實(shí)際覆蓋的面積是2¹⁰⁰-1平方厘米．
分析：（1）根據(jù)已知可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)正方形面積是第（n-1）個(gè)面積的2倍，所以第100個(gè)正方形面積是2¹⁰⁰，據(jù)此解答即可．
（2）將100個(gè)正方形面積相加即可
（3）由圖意得出這100個(gè)正方形實(shí)際覆蓋的面積是這100個(gè)正方形面積和的一半．
點(diǎn)評：主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．