Question

【題目】如圖， 是棱形， 與相交于點，平面平面，且是直角梯形， .

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由菱形的性質(zhì)可得，由線面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）直角梯形中，由得平面，取的中點，以為坐標原點，以為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量與平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：在棱形中，可得，

因為平面平面，且交線為，

所以平面，

因為平面，所以.

（2）直角梯形中，由，得平面.

取的中點，以為坐標原點，以為軸， 為軸， 為軸，建立空間直角坐標系，則.

所以.

設(shè)平面的法向量，

由，可取

由.

設(shè)平面的法向量為，

同上得，可取.

則，

即二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直判定與性質(zhì)以及利用空間向量求二面角的大小，屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.