觀察以下的運(yùn)算:
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abc
是三位數(shù),因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
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abc
=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)
所以,若a+b+c能被9整除,
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abc
能被9整除.
這個(gè)結(jié)論可以推廣到任意多位數(shù).
運(yùn)用以上的結(jié)論,解答以下問(wèn)題:
(1)N是2011位數(shù),每位數(shù)字都是2,求N被9除,得到的余數(shù).
(2)N是n位數(shù),每位數(shù)字都是7,n是被9除余3的數(shù).求N被9除,得到的余數(shù).
分析:(1)被9整除的數(shù)的特征是:各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和能夠被9整除,N是2011位數(shù),并且每位數(shù)字都是2,它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和為(2011×2),進(jìn)一步算出此和被9除,得到的余數(shù),也即N被9除,得到的余數(shù);
(2)根據(jù)被9整除的數(shù)的特征,可知自然數(shù)N各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為7n;由于n÷9余3,所以設(shè)n=9k+3,則7n=7(9k+3)=63k+21=(63k+18)+3=9(7k+2)+3;那么N-3的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為7n-3=9(7k+2)能被9整除,所以N-3能被9整除,所以N被9除的余數(shù)也是3.
解答:解:(1)2011×2=4022;
4022÷9=446…8,
所以N被9除,得到的余數(shù)是8;
(2)自然數(shù)N各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和為7n;由于n÷9余3,所以不妨設(shè)n=9k+3,
則7n=7(9k+3)=63k+21=(63k+18)+3=9(7k+2)+3;
那么N-3的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為7n-3=9(7k+2)能被9整除,所以N-3能被9整除,所以N被9除的余數(shù)也是3.
答:(1)N被9除,得到的余數(shù)是9,(2)N被9除,得到的余數(shù)是3.
點(diǎn)評(píng):此題考查數(shù)的整除特征,關(guān)鍵是根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征:各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和能夠被9整除,進(jìn)一步解決問(wèn)題.
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