Question

一個自然數(shù)a，若將其數(shù)碼重新排列可得到一個新的自然數(shù)b，如果a恰是b的三倍，我們稱a是一個希望數(shù)．
（1）舉例說明希望數(shù)一定存在；
（2）請說明，如果a、b都是希望數(shù)，則ab一定是729倍數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)希望數(shù)的定義可知，428571=3×142857，故此數(shù)即為希望數(shù)；
（2）由于a、b均為希望數(shù)，所以存在一個由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，根據(jù)整除的判別法可知a為3的倍數(shù)、p為9的倍數(shù)，再由a，b都是“希望數(shù)”，可知a，b都是27的倍數(shù)，設(shè)a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂為正整數(shù)）代入ab即可得出答案．

解答：解：（1）因為428571=3×142857，
所以428571是一個“希望數(shù)”．
（2）因為a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和．
因為a=3p和a為3的倍數(shù)，但a的數(shù)字和等于P的數(shù)字和，
所以由整除判別法，知p為3的倍數(shù)，
所以p=3m，（m為正整數(shù)），
所以a=3×p=3×3m=9m，
所以a被9整除．
因為a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和，
所以由被9整除的判別法可知p能被9整除，即p=9k（k為整數(shù)），
所以p=3a=3×9k=27k
所以a是27的倍數(shù)．
所以“希望數(shù)”一定能被27整除．
因為a，b都是“希望數(shù)”，
所以a，b都是27的倍數(shù)，即a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂為正整數(shù)）．
所以ab=（27n₁）（27n₂）
=（27×27）（n₁×n₂）
=729n₁n₂．
所以ab一定是729的倍數(shù)．

點評：本題考查的是“希望數(shù)”的定義及數(shù)的整除性問題，根據(jù)題意掌握“希望數(shù)”的定義是解答此題的關(guān)鍵．