Question

4．問(wèn)題研究：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：
四邊形可以畫(huà)出2條對(duì)角線(xiàn)，五邊形可以畫(huà)出5條對(duì)角線(xiàn)．那么六邊形可以畫(huà)多少條對(duì)角線(xiàn)呢？


他發(fā)現(xiàn)，即使是數(shù)一數(shù)圖3中已經(jīng)畫(huà)好的對(duì)角線(xiàn)，也挺難數(shù)清楚一共有多少條．于是他認(rèn)真研究起來(lái)，想找到其中的規(guī)律．
他發(fā)現(xiàn)在任何一幅圖中，從某個(gè)點(diǎn)出發(fā)畫(huà)對(duì)角線(xiàn)都有一定的規(guī)律．如圖1中，從A點(diǎn)出發(fā)只能畫(huà)連接C點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)，從A點(diǎn)出發(fā)是不能連接A點(diǎn)本身以及和A點(diǎn)相鄰的B點(diǎn)和C點(diǎn)的；在圖2中，從A點(diǎn)出發(fā)能畫(huà)連接C點(diǎn)和D點(diǎn)的兩條對(duì)角線(xiàn)，A點(diǎn)本身和B、E兩點(diǎn)也是不可以連接的．
那么在圖3中，從A點(diǎn)出發(fā)，除了A、B、F三點(diǎn)不能連接，可以畫(huà)3條對(duì)角線(xiàn)；照這樣想，那么從任何一點(diǎn)出發(fā)都可以畫(huà)出3條對(duì)角線(xiàn)，這樣就有了18條對(duì)角線(xiàn)．如果這樣畫(huà)，任何一條對(duì)角線(xiàn)又都重復(fù)了一次．如對(duì)角線(xiàn)AD，就是從A連接D，也是從D連接A，即重復(fù)了一次．所以圖3中六邊形的對(duì)角線(xiàn)應(yīng)該可以畫(huà)9條．
通過(guò)研究，小明不但解決了六邊形對(duì)角線(xiàn)條數(shù)的問(wèn)題，而且他發(fā)現(xiàn)其實(shí)任意多邊形的對(duì)角線(xiàn)條數(shù)問(wèn)題都是可以解決的．如53邊形中，從任何一個(gè)點(diǎn)出發(fā)都能畫(huà)50條對(duì)角線(xiàn)；考慮到重復(fù)，那么53邊形可以畫(huà)1325條對(duì)角線(xiàn)．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)：從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)比邊數(shù)少3；從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（n-3）條對(duì)角線(xiàn)，共n個(gè)頂點(diǎn)，因此共可以畫(huà)n（n-3）條，還有一半是重復(fù)的，因此總條數(shù)為$\frac{1}{2}$n（n-3）；根據(jù)對(duì)角線(xiàn)總條數(shù)公式代入數(shù)據(jù)即可求解．

解答 解：$\frac{1}{2}$×6×（6-3）
=$\frac{1}{2}$×6×3
=9（條）
$\frac{1}{2}$×53×（53-3）
=$\frac{1}{2}$×53×50
=1325（條）
答：在圖3中，從A點(diǎn)出發(fā)，除了A、B、F三點(diǎn)不能連接，可以畫(huà)3條對(duì)角線(xiàn)；照這樣想，那么從任何一點(diǎn)出發(fā)都可以畫(huà)出3條對(duì)角線(xiàn)，這樣就有了18條對(duì)角線(xiàn)．如果這樣畫(huà)，任何一條對(duì)角線(xiàn)又都重復(fù)了一次．如對(duì)角線(xiàn)AD，就是從A連接D，也是從D連接A，即重復(fù)了一次．所以圖3中六邊形的對(duì)角線(xiàn)應(yīng)該可以畫(huà)9條．53邊形中，從任何一個(gè)點(diǎn)出發(fā)都能畫(huà)50條對(duì)角線(xiàn)；考慮到重復(fù)，那么53邊形可以畫(huà)1325條對(duì)角線(xiàn)．
故答案為：3，9；50，1325．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了多邊形的對(duì)角線(xiàn)、內(nèi)角和，關(guān)鍵是掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線(xiàn)．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n-3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線(xiàn)的總條數(shù)為：$\frac{1}{2}$nn（n-3）（n≥3，且n為整數(shù)）．