Question

（2010?伊春）求下列圖形的面積（體積）：
（1）圖1中陰影部分的面積是50cm²，求環(huán)形的面積．
（2）圖2中以直角梯形的高AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)體的體積．（單位：cm）

Answer 1

分析：（1）大圓半徑為R，小圓半徑為r，陰影部分的面積為大三角形減去小三角形，連接圓心到三角形的頂點(diǎn)，可得：大三角形面積等于R×R÷2×2=R²；小三角形面積等于r×r÷2×2=r²．進(jìn)而可得R²-r²=50平方厘米，環(huán)形面積為3.14×R²-3.14×r²=3.14×（R²-r²）=3.14×50=157平方厘米，從而得解；
（2）以直角梯形的高AB為軸旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái)，延長(zhǎng)BA、CD相交于一點(diǎn)E，則旋轉(zhuǎn)后變成了圓錐，根據(jù)∠C=45°可得BE（大圓錐的高）等于BC等于30厘米．
AB的長(zhǎng)度等于從D點(diǎn)作到BC是垂線的長(zhǎng)度，等于30-15=15厘米．AE（小圓錐的高）等于BE-AB=30-15=15厘米，這樣知道底面半徑和高分別計(jì)算兩個(gè)圓錐的體積，大圓錐減去小圓錐即為圓臺(tái)體積．

解答：解：（1）連接圓心到兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)可得：
大三角形面積：R×R÷2×2=R²；
小三角形面積：r×r÷2×2=r²．
因?yàn)閳D中陰影部分的面積是50平方厘米，所以R²-r²=50平方厘米，
環(huán)形面積：3.14×R²-3.14×r²，
=3.14×（R²-r²），（把R²-r²=50代入）
=3.14×50，
=157（平方厘米）．
答：環(huán)形的面積是157平方厘米．

（2）延長(zhǎng)BA、CD相交于一點(diǎn)E，從D點(diǎn)作到BC是垂線，
因?yàn)椤螩=45°，三角形BCE是等腰直角三角形，可得BE（大圓錐的高）等于BC等于30厘米；
AB的長(zhǎng)度等于從D點(diǎn)作到BC是垂線的長(zhǎng)度，等于30-15=15厘米．
AE（小圓錐的高）等于BE-AB=30-15=15厘米；
圓臺(tái)面積：3.14×30²×30×

1

3

-3.14×15²×15×

1

3

，
=3.14×900×10-3.14×225×5，
=28260-3532.5，
=24727.5（立方厘米）．
答：旋轉(zhuǎn)體的體積為24727.5立方厘米．

點(diǎn)評(píng)：思維要靈活，（1）從三角形面積與圓的半徑的關(guān)系切入，一步步分析求解；（2）從45°角入手，分別可求需要的數(shù)據(jù)，進(jìn)而分析，運(yùn)用圓錐的體積公式求解．