Question

甲，乙兩人進(jìn)行了下面的游戲．兩人先約定一個(gè)整數(shù)N．然后由甲開(kāi)始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，這十個(gè)數(shù)字之一填入下面的任一方格中

1

4

2

1

4

2

每一方格只填一個(gè)數(shù)字，六個(gè)方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個(gè)六位數(shù)．如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝．設(shè)N小于15，那么當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙才能取勝？

Answer 1

分析：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝．N=5，甲就可以在六位數(shù)的個(gè)位填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝．如果N=1，很明顯乙必獲勝；如果N=3或9，那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍，因此乙必獲勝，N=7，11，13時(shí)是本題最困難的情況，因?yàn)槲覀冎��?001=7×11×13，乙就有一種必勝的方法．我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填寫(xiě)的六位數(shù)能被1001整除（abcabc=abc×1001），這個(gè)六位數(shù)就能被7、11或13整除，故乙就能獲勝．綜合起來(lái)，使乙獲勝的N是1，3，7，9，11，13．

解答：解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝．
N=5，甲就可以在六位數(shù)的個(gè)位填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝．
上面已經(jīng)列出了乙不能獲勝的N的取值情況．
如果N=1，很明顯乙必獲勝．
如果N=3或9，那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍，因此乙必獲勝．
當(dāng)N=7，11，13時(shí)是本題最困難的情況，因?yàn)槲覀冎��?001=7×11×13，乙就有一種必勝的方法．我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填寫(xiě)的六位數(shù)能被1001整除（abcabc=abc×1001），這個(gè)六位數(shù)就能被7、11或13整除，故乙就能獲勝．
綜合起來(lái)，使乙獲勝的N是1，3，7，9，11，13；
答：當(dāng)N取1、3、7、9、11、13這幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙才能取勝．

點(diǎn)評(píng)：利用分類(lèi)取值的方法，牢記1001=7×11×13，是解決此題的關(guān)鍵．