Question

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，連接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；
（3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，求線段EP₁長(zhǎng)度的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答；
（2）運(yùn)用全等三角形和相似三角形的性質(zhì)，求出

S△ABA1

S△CBC1

=（

AB

BC

）²=（

4

5

）²=

16

25

，進(jìn)而解決問題；
（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

5

2

2

；然后進(jìn)行討論，求得線段EP₁長(zhǎng)度的最大值與最小值．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
所以∠CC₁B=∠C₁CB=45°，
所以∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°．
（2）因?yàn)椤鰽BC≌△A₁BC₁，
所以BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，

AB

BC

=

BA

BC1

，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
所以∠ABA₁=∠CBC₁，
所以△ABA₁∽△CBC₁．
所以，

S△ABA1

S△CBC1

=（

AB

BC

）²=（

4

5

）²=

16

25

，
因?yàn)镾_△ABA1=4，
所以S_△CBC1=

25

4

；
（3）如圖
，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以點(diǎn)D在線段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=

5

2

2

；
①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)與AB垂直的時(shí)候，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小，最小值為：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=

5

2

2

-2；
②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大，最大值為：EP₁=BC+BE=2+5=7．

點(diǎn)評(píng)：分析圖形，根據(jù)圖形特點(diǎn)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)等知識(shí)，解決問題．