Question

（2009?中山市）有4個(gè)自然數(shù)，它們的和是1111，如果要求這四個(gè)數(shù)的公約數(shù)盡可能大，那么這四個(gè)數(shù)的公約數(shù)最大可能是

101

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Answer 1

分析：由題中4個(gè)自然數(shù)，他們的和是1111，如果要求這4個(gè)數(shù)的公約數(shù)盡可能大，那么4個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)也一定是1111的約數(shù)，這樣，討論4個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為討論1111的約數(shù)問題．在此基礎(chǔ)上來確定這4個(gè)數(shù)，使他們的和為1111且最大公約數(shù)為最大．

解答：解：因?yàn)?111=101×11，其約數(shù)有1，11，101，1111．顯然1111不符合要求，
再考慮約數(shù)101，由于1111=101×11=101×（1+2+3+5）=101+101×2+101×3+101×5．
如果取101，101×2，101×3，101×5這4個(gè)數(shù)，就滿足題目的要求其和為1111且他們的最大公約數(shù)為101．
（由于11=1+2+3+5=1+1+3+6=…，所以滿足條件的4個(gè)數(shù)并不唯一）．
故答案為：101．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查約數(shù)定理的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是明確要使這4個(gè)數(shù)的公約數(shù)盡可能大，那么4個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)也一定是1111的約數(shù)．