(2)若已知設無窮數列的各項和為.求 【查看更多】

 

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已知數列的各項均為正數，表示該數列前項的和，且對任意正整數，恒有，設

（1）      求數列的通項公式；

（2）      證明：無窮數列為遞增數列；

（3）是否存在正整數，使得對任意正整數恒成立，若存在，求出的最小值。

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已知數列{an}的各項均為正數，sn表示該數列前n項的和，且對任意正整數n，恒有2sn=an（an+1），設bn=
n
i=1
1
an+i
．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）證明：無窮數列{bn}為遞增數列；
（3）是否存在正整數k，使得bn＜
k
10
對任意正整數n恒成立，若存在，求出k的最小值．

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（本小題滿分16分）

已知數列是各項均為正數的等差數列．

（1）若，且，，成等比數列，求數列的通項公式；

（2）在（1）的條件下，數列的前和為，設，若對任意的，不等式恒成立，求實數的最小值；

（3）若數列中有兩項可以表示為某個整數的不同次冪，求證：數列　中存在無窮多項構成等比數列．

 

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（本小題滿分16分）
已知數列是各項均為正數的等差數列．
（1）若，且，，成等比數列，求數列的通項公式；
（2）在（1）的條件下，數列的前和為，設，若對任意的，不等式恒成立，求實數的最小值；
（3）若數列中有兩項可以表示為某個整數的不同次冪，求證：數列　中存在無窮多項構成等比數列．

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已知無窮等比數列{an}的首項、公比均為．

(1)試求無窮等比子數列{a3k－1}(k∈N*)各項的和；

(2)是否存在數列{an}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；

(3)試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{an}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

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一、填空題

1．   2．    3．2   4．  5. i100   6．  7． 2

8．    9．   10．   11．   12．

二、選擇題

13．   14．A  15．A．  16． D

三、解答題

17．

   （1）由題意可得：=5----------------------------------------------------------（2分）

由：  得：=314---------------------------------------（4分）

或：，

   （2）方法一：由：或------（1分）

        或---------（1分）

得：0.0110-----------------------------------------------------------------（1分）

方法二：由：

得：-----------------------------------------------------------------（1分）

由：點和點的縱坐標相等，可得點和點關于點對稱

即：------------------------------------------------------------（1分）

得：0.011-----------------------------------------------------------------------（1分）

 

 

 

18．（1），是等腰三角形，

又是的中點，，--------------（1分）

又底面．．----（2分）

-------------------------------（1分）

于是平面．----------------------（1分）

   （2）過作，連接----------------（1分）

平面，

，-----------------------------------（1分）

平面，---------------------------（1分）

就是直線與平面所成角。---（2分）

在中，

----------------------------------（2分）

所以，直線與平面所成角--------（1分）

19．解：

   （1）函數的定義域為；------------------------------------（1分）

當時；當時；--------------------------------------------------（1分）

所以，函數在定義域上不是單調函數，------------------（1分）

所以它不是“類函數” ------------------------------------------------------------------（1分）

   （2）當小于0時，則函數不構成單調函數；（1分）

當=0時，則函數單調遞增，

但在上不存在定義域是值域也是的區(qū)間---------------（1分）

當大于0時，函數在定義域里單調遞增，----（1分）

要使函數是“類函數”，

即存在兩個不相等的常數 ，

使得同時成立，------------------------------------（1分）

即關于的方程有兩個不相等的實根，--------------------------------（2分）

，--------------------------------------------------------------------------（1分）

亦即直線與曲線在上有兩個不同的交點，-（1分）

所以，-------------------------------------------------------------------------------（2分）

20．解：

   （1）

若，由，得數列構成等比數列------------------（3分）

若，，數列不構成等比數列--------------------------------------（1分）

   （2）由，得：-------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------（1分）

----------------------------------------------（1分）

----（1分）

------------------------------------------------------------------（1分）

---------------------------------------------------------------------（1分）

   （3）若對任意，不等式恒成立，

即：

-------------------------------------------（1分）

令：，當時，有最大值為0---------------（1分）

令：

------------------------------------------------------（1分）

當時

---------------------------------------------------------（1分）

所以，數列從第二項起單調遞減

當時，取得最大值為1-------------------------------（1分）

所以，當時，不等式恒成立---------（1分）

21． 解：

   （1）雙曲線焦點坐標為，漸近線方程---（2分）

雙曲線焦點坐標，漸近線方程----（2分）

   （2）

得方程: -------------------------------------------（1分）

設直線分別與雙曲線的交點、  的坐標分別為，線段 中點為坐標為

----------------------------------------------------------（1分）

得方程: ----------------------------------------（1分）

設直線分別與雙曲線的交點、  的坐標分別為，線段 中點為坐標為

---------------------------------------------------（1分）

由，-----------------------------------------------------------（1分）

所以，線段與不相等------------------------------------（1分）

   （3）

若直線斜率不存在，交點總個數為4；-------------------------（1分）

若直線斜率存在，設斜率為，直線方程為

直線與雙曲線：

    得方程:   ①

直線與雙曲線：

     得方程:    ②-----------（1分）

 

的取值

直線與雙曲線右支的交點個數

直線與雙曲線右支的交點個數

交點總個數

1個（交點）

1個（交點）

2個

1個（，）

1個（，）

2個

1個（與漸進線平行）

1個（理由同上）

2個

2個（，方程①兩根都大于2）

1個（理由同上）

3個

2個（理由同上）

1個（與漸進線平行）

3個

2個（理由同上）

2個（，方程②

兩根都大于1）

4個

得：-------------------------------------------------------------------（3分）

由雙曲線的對稱性可得：

的取值

交點總個數

2個

2個

3個

3個

4個

得：-------------------------------------------------------------------（2分）

綜上所述：（1）若直線斜率不存在，交點總個數為4；

   （2）若直線斜率存在，當時，交點總個數為2個；當或 時，交點總個數為3個；當或時，交點總個數為4個；---------------（1分）

 

 

 


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