學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個白球，2個黑球，乙箱子里裝有1個白球，2個黑球，這些球除顏色外完全相同。每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)

(1)求在一次游戲中

①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率。

(2)求在兩次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(x)。

【解析】(1)  ①摸出3個白球，只有甲箱摸2個白球，乙箱摸一個白球；②不少于2個包括2個白球或3個白球。(2)符合幾何分別。

 

已知函數(shù)的最小值為0，其中

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若對任意的有≤成立，求實(shí)數(shù)的最小值；

（Ⅲ）證明（）.

【解析】(1)解： 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

由，得

當(dāng)x變化時，，的變化情況如下表：

x
	-	0	+
		極小值

因此，在處取得最小值，故由題意，所以

（2）解：當(dāng)時，取，有，故時不合題意.當(dāng)時，令，即

令，得

①當(dāng)時，，在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的，總有，即在上恒成立，故符合題意.

②當(dāng)時，，對于，，故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時，，即不成立.

故不合題意.

綜上，k的最小值為.

（3）證明：當(dāng)n=1時，不等式左邊==右邊，所以不等式成立.

當(dāng)時，

                      

                      

在（2）中取，得 ，

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上，，

 

設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù).若對任意的，存在，使得成立，則稱數(shù)列為“J_k型”數(shù)列．

（1）若數(shù)列是“J₂型”數(shù)列，且，，求；

（2）若數(shù)列既是“J₃型”數(shù)列，又是“J₄型”數(shù)列，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

【解析】1）中由題意，得，，，，…成等比數(shù)列，且公比，

所以．

（2）中證明：由{}是“j₄型”數(shù)列，得，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為t. 由{}是“j₃型”數(shù)列，得

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

，…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

…成等比數(shù)列，設(shè)公比為；

 

某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量關(guān)于行駛速度的函數(shù)解析式可以表示為：．已知甲、乙兩地相距，設(shè)汽車的行駛速度為，從甲地到乙地所需時間為，耗油量為．

（1）求函數(shù)及；

（2）求當(dāng)為多少時，取得最小值，并求出這個最小值．

【解析】(1) ,根據(jù)可求出y=f(x).

(2)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定其最小值.

 

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC、AD的中點(diǎn).

（1）求證：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(1)證：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根據(jù)二面角P-BF-C的余弦值為,確定高PD的值，即可求出四棱錐的體積.也可利用傳統(tǒng)方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角時，要考慮運(yùn)用三垂線或逆定理.