如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過(guò)O點(diǎn)作MN∥BC分別交AB、AC于M、N，且MN=a．另一個(gè)與△ABC全等的等邊△DEF的頂點(diǎn)D在MN上移動(dòng)（不與點(diǎn)M、N重合），并始終保持EF∥BC，DF交AB于點(diǎn)P，DE交AC于點(diǎn)Q．
（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進(jìn)行證明；
（2）設(shè)DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請(qǐng)求出它的最大值，并確定此時(shí)D點(diǎn)的位置．
（3）如圖（2），當(dāng)D點(diǎn)和圓心O重合時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形APDQ的形狀，并說(shuō)明理由；你能發(fā)現(xiàn)四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關(guān)系嗎？為什么？

如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C的路線移動(dòng)，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S．
（1）分別求出點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少？
（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點(diǎn)，那么OE與OF的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？借助備用圖2說(shuō)明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線l經(jīng)過(guò)梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，其一定平分梯形的面積？（只要求說(shuō)出條件，不需證明）

探究問(wèn)題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空：
將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時(shí)AB與AD重合，由旋轉(zhuǎn)可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，點(diǎn)G，B，F(xiàn)在同一條直線上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌．
∴=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊翻折得到△ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且∠EAF=

1

2

∠DAB．試猜想DE，BF，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足∠EAF=

1

2

∠DAB，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請(qǐng)直接寫出你的猜想（不必說(shuō)明理由）．