如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，折痕為FG，且BG=10．
求證：四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng)．

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=

6

，BC=

10

．第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)O₁；O₁D的中點(diǎn)為D₁，第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D₁重合，折痕與BD交于點(diǎn)O₂；設(shè)O₂D₁的中點(diǎn)為D₂，第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D₂重合，折痕與BD交于點(diǎn)O₃，…．按上述方法折疊，第n次折疊后的折痕與BD交于點(diǎn)O_n，則BO₁=，BO_n=．

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，BG=10．
（1）當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，如圖．求△EFG的面積；
（2）當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí)，如圖．證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長(zhǎng)．

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=4，現(xiàn)將A、C重合后，使紙片壓平，設(shè)折痕為EF，使確定重疊部分的面積等于．

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=4

3

，將矩形沿對(duì)角線AC剪開，解答以下問題：
（1）在△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，△A₁CD₁是旋轉(zhuǎn)后的新位置（圖A），求此AA₁的距離；
（2）將△ACD沿對(duì)角線AC向下翻折（點(diǎn)A、點(diǎn)C位置不動(dòng)，△ACD和△ABC落在同一平面內(nèi)），△ACD₂是翻折后的新位置（圖B），求此時(shí)BD₂的距離；
（3）將△ACD沿CB向左平移，設(shè)平移的距離為x（0≤x≤4

3

），△A₂C₁D₃是平移后的新位置（圖C），若△ABC與△A₂C₁D₃重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．