如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A（-

1

2

，0），B（2，0），且與y軸交于點C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）點P是x軸下方的拋物線上一動點，連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，求出使四邊形POP′C為菱形的點P的坐標；
（3）在此拋物線上是否存在點Q，使得以A，C，B，Q四點為頂點的四邊形是直角梯形？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，說明理由．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），點B（0，3），點P從點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點A出發(fā)沿AO方向向點O勻速運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ．若設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)△AQP的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（4）連接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形PQP′O，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′O為菱形？若存在，請求出此時點Q的坐標和菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），點B（0，3），點P從點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點A出發(fā)沿AO方向向點O勻速運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ．若設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)△AQP的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（4）連接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形PQP′O，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′O為菱形？若存在，請求出此時點Q的坐標和菱形的邊長；若不存在，請說明理由．

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（4，0），點B（0，3），點P從點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點A出發(fā)沿AO方向向點O勻速運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ．若設(shè)運動的時間為t秒（0＜t＜2）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設(shè)△AQP的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把△AOB的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（4）連接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四邊形PQP′O，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQP′O為菱形？若存在，請求出此時點Q的坐標和菱形的邊長；若不存在，請說明理由．