如圖，在矩形中，已知、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，為的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)是平分線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）．

（1）試證明：無論點(diǎn)運(yùn)動到何處，總與相等；

（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)的距離最小時，試確定過三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到何處時，的周長最小？求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)和的周長；

（4）設(shè)點(diǎn)是矩形的對稱中心，是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，0）、C（0，2），D為OA的中點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P是∠AOC平分線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合）．
（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到何處，PC總與PD相等；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)B的距離最小時，試確定過O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)E是（2）中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時，△PDE的周長最�。壳蟪龃藭r點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE的周長；
（4）設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點(diǎn)P，使∠CPN=90°？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．