（1）如圖1所示，固定于水平面上的金屬框架abcd，處在豎直向下的勻強磁場中。金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運動�？蚣艿�ab與dc平行，bc與ab、dc垂直。MN與bc的長度均為l，在運動過程中MN始終與bc平行，且與框架保持良好接觸。磁場的磁感應強度為B。

a. 請根據法拉第電磁感應定律，推導金屬棒MN中的感應電動勢E；

b. 在上述情景中，金屬棒MN相當于一個電源，這時的非靜電力與棒中自由電子所受洛倫茲力有關。請根據電動勢的定義，推導金屬棒MN中的感應電動勢E。

（2）為進一步研究導線做切割磁感線運動產生感應電動勢的過程，現構建如下情景：如圖2所示，在垂直于紙面向里的勻強磁場中，一內壁光滑長為l的絕緣細管MN，沿紙面以速度v向右做勻速運動。在管的N端固定一個電量為q的帶正電小球（可看做質點）。某時刻將小球釋放，小球將會沿管運動。已知磁感應強度大小為B，小球的重力可忽略。在小球沿管從N運動到M的過程中，求小球所受各力分別對小球做的功。

如圖，光滑的平行金屬導軌水平放置，導軌間距為L，左側接一阻值為R的電阻。矩形區(qū)域abfe內存在垂直軌道平面向下的有界勻強磁場，磁感應強度大小為B。導軌上ac段和bd段單位長度的電阻為r0，導軌其余部分電阻不計，且ac=bd=x1。一質量為m，電阻不計的金屬棒MN置于導軌上，與導軌垂直且接觸良好。金屬棒受到一個水平拉力作用，從磁場的左邊界由靜止開始作勻加速直線運動，加速度大小為a。棒運動到cd處撤去外力，此后棒的速度vt隨位移x的變化規(guī)律滿足，且棒在運動到磁場右邊界ef處恰好靜止。求：

   （1）用法拉第電磁感應定律導出本題中金屬棒在區(qū)域abdc內切割磁感線時產生的感應電動勢隨時間t變化的表達式；

   （2）df的長度x2應滿足什么條件；

   （3）金屬棒運動過程中流過電阻R的最大電流值和最小電流值。

（4分）導體切割磁感線時產生感應電動勢的數學表達式為           即在______________    磁場中，當___________________________________________________________________時，感應電動勢等于____________________________________________________________。