(2)是否存在數(shù)列的一個無窮等比子數(shù)列.使得它各項的和為?若存在.求出所有滿足條件的子數(shù)列的通項公式,若不存在.請說明理由, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

從數(shù)列{an}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列,,,…,…，稱之為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}是一個公差不為零的等差數(shù)列，且a3=6,取n1=1,n2=3.

(Ⅰ)若a1=4，求正整數(shù)m，使，,am成等比數(shù)列；

(Ⅱ)若a1=4，那么{an}是否存在無窮等比子數(shù)列{}?請說明理由；

(Ⅲ)若{an}存在等比子數(shù)列,,，求整數(shù)a1的值.

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（2007•奉賢區(qū)一模）已知：函數(shù)f(x)=
x
ax+b
(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=
2
3
，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）數(shù)列{an}對n≥2，n∈N總有an=f（an-1），a1=1；求證{
1
an
}為等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式．
（3）是否存在這樣的數(shù)列{bn}滿足：{bn}為{an}的子數(shù)列（即{bn}中的每一項都是{an}的項）且{bn}為無窮等比數(shù)列，它的各項和為
1
2
．若存在，找出一個符合條件的數(shù)列{bn}，寫出它的通項公式；若不存在，說明理由．

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對于數(shù)列{xn}，從中選取若干項，不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個子數(shù)列．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個概念之后，打算研究首項為正整數(shù)a，公比為正整數(shù)q（q＞0）的無窮等比數(shù)列{an}的子數(shù)列問題．為此，他任取了其中三項ak，am，an（k＜m＜n）．
（1）若ak，am，an（k＜m＜n）成等比數(shù)列，求k，m，n之間滿足的等量關(guān)系；
（2）他猜想：“在上述數(shù)列{an}中存在一個子數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”，為此，他研究了ak+an與2an的大小關(guān)系，請你根據(jù)該同學(xué)的研究結(jié)果來判斷上述猜想是否正確；
（3）他又想：在首項為正整數(shù)a，公差為正整數(shù)d的無窮等差數(shù)列中是否存在成等比數(shù)列的子數(shù)列？請你就此問題寫出一個正確命題，并加以證明．

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定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為數(shù)學(xué)公式．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為數(shù)學(xué)公式？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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定義：將一個數(shù)列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列．
已知無窮等比數(shù)列{an}的首項、公比均為
1
2
．
（1）試求無窮等比子數(shù)列{a3k-1}（k∈N*）各項的和；
（2）是否存在數(shù)列{an}的一個無窮等比子數(shù)列，使得它各項的和為
1
7
？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設(shè)計一個數(shù)學(xué)問題，研究：是否存在數(shù)列{an}的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其各項和之間滿足某種關(guān)系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結(jié)論．

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號

12

13

14

    20090116

    答案

    A

    C

    B

    B

    三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

    16．（理）解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．

    因為，所以

        推出．

    依題意可知，當(dāng)時，取得最小值．而，

    故有，解得．

    又點在橢圓的長軸上，即．故實數(shù)的取值范圍是．

    17．解：（1）當(dāng)時，；

    當(dāng)且時，；

    當(dāng)時，；（不單獨分析時的情況不扣分）

    當(dāng)時，．

    （2）由（1）知：當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)無限；

    當(dāng)時，集合中的元素的個數(shù)有限，此時集合為有限集．

    因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

    所以當(dāng)時，集合的元素個數(shù)最少．

    此時，故集合．

    18．（本題滿分15分，第1小題7分，第2小題8分）

    解：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)．

    依題意，可得點的坐標(biāo)，，．

        于是，，．

       由，則異面直線與所成角的

    大小為．

    （2）解：連結(jié)． 由，

    是的中點，得;

    由面，面，得．

    又，因此面

    由直三棱柱的體積為．可得．

    所以，四棱錐的體積為

    ．

    19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．

    由此可得，；

    由規(guī)律②可知，，

    ；

    又當(dāng)時，，

    所以，，由條件是正整數(shù)，故取．

        綜上可得，符合條件．

    （2） 解法一：由條件，，可得

    ，

    ，

    ，．

    因為，，所以當(dāng)時，，

    故，即一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

    解法二：列表，用計算器可算得

    月份

    …

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    …

    人數(shù)

    …

    383

    463

    499

    482

    416

    319

    …

    故一年中的7，8，9，10四個月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

    20．解：（1）依條件得： 則無窮等比數(shù)列各項的和為：

         ；

      （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為，由條件得：，

    則，即    

    而  則 .

    所以，滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項、公比均為，

    其通項公式為，.

    解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項為，公比為．

    由………… ①

    又若，則對每一

    都有………… ②

    從①、②得；

    則；

    因而滿足條件的無窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項、公比均為無窮等比子

    數(shù)列，通項公式為，．

    （3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：

    問題一：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

    解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和之積為1。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

    ，

    因為等式左邊或為偶數(shù)，或為一個分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個奇數(shù)的乘積，還是一個奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個子數(shù)列不存在。

    【以上解答屬于層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分】

    問題二：是否存在數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們各項的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

    解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使它們的各項和相等。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

    ………… ①

    若且，則①，矛盾；若且，則①

    ，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

    ①………… ②

    1當(dāng)時，②，等式左邊是偶數(shù)，

    右邊是奇數(shù)，矛盾；

    2當(dāng)時，②

    或

    ，

    兩個等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

    綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得它們的各項和相等。

    【以上解答屬于層級4，可得設(shè)計分5分，解答分7分】

    問題三：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說明理由．

    解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個子數(shù)列的首項、公比分別為和，其中且或，則

    ，

    顯然當(dāng)時，上述等式成立。例如取，，得：

    第一個子數(shù)列：，各項和；第二個子數(shù)列：，

    各項和，有，因而存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍。

    【以上解答屬層級3，可得設(shè)計分4分，解答分6分．若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個層級評分】

    問題四：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：存在。

    問題五：是否存在原數(shù)列的兩個不同的無窮等比子數(shù)列，使得其中一個數(shù)列的各項和等于另一個數(shù)列的各項和的倍？并說明理由．解（略）：不存在．

    【以上問題四、問題五等都屬于層級4的問題設(shè)計，可得設(shè)計分5分。解答分最高7分】

     


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