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已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚和鯽魚，為了估計這兩種魚的數(shù)量，養(yǎng)殖者從池塘中捕出兩種魚各只，給每只魚做上不影響其存活的標記，然后放回池塘，待完全混合后，再每次從池塘中隨機的捕出只魚，記錄下其中有記號的魚的數(shù)目，立即放回池塘中。這樣的記錄做了次，并將記錄獲取的數(shù)據(jù)做成以下的莖葉圖。

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖計算有記號的鯉魚和鯽魚數(shù)目的平均數(shù)，并估計池塘中的鯉魚和鯽魚的數(shù)量；

（Ⅱ）為了估計池塘中魚的總重量，現(xiàn)從中按照（Ⅰ）的比例對條魚進行稱重，據(jù)稱重魚的重量介于（單位：千克）之間，將測量結果按如下方式分成九組：第一組、第二組；……，第九組。右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分。
①估計池塘中魚的重量在千克以上（含千克）的條數(shù)；
②若第二組、第三組、第四組魚的條數(shù)依次成公差為的等差數(shù)列，請將頻率分布直方圖補充完整；
③在②的條件下估計池塘中魚的重量的眾數(shù)、中位數(shù)及估計池塘中魚的總重量；
（Ⅲ）假設隨機地從池塘逐只有放回的捕出只魚中出現(xiàn)鯉魚的次數(shù)為，求的數(shù)學期望。

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一.選擇題   1-5   6-10   BCDCA  DAABC 

二．填空題   11. ;  12. 2 ; 13. 2236 ;   14. ;  

 15.

三、解答題

16.【解】（Ⅰ）由整理得，

即，------2分

∴，      -------5分

∵，∴。                  -------7分

（Ⅱ）∵,∴最長邊為，              --------8分

∵，∴，              --------10分

∴為最小邊，由余弦定理得，解得，

∴，即最小邊長為1                      --------13分

17.【解】（Ⅰ）由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20，故可認為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同，設池塘中兩種魚的總數(shù)是，則有

，                                      ------------4分

即   ，                      

所以，可估計水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均為25000．    ------------7分

（Ⅱ）顯然，，                                 -----------9分

其分布列為

0

1

2

3

4

5

---------11分

數(shù)學期望．                                  -----------13分

18.【解】（Ⅰ）∵，∴，--------2分

    要使有極值，則方程有兩個實數(shù)解，

    從而△＝，∴．                        ------------4分

（Ⅱ）∵在處取得極值，

    ∴，

∴．                                          ------------6分

∴，

∵，

∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．

∴時，在處取得最大值，       ------------10分

∵時，恒成立，

∴，即，

∴或，即的取值范圍是．------------13分

19.【解】法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中,平面．

，∴平面．

∵平面，∴，而，則．---------2分

在與中，∴，--------4分

∴．∴．即．

∵，∴平面．                --------------6分

（Ⅱ）如圖，設,過作的垂線，垂足為，連，平面,為二面角的平面角．        ----------------9分

在中，，，

∴，∴;

在中，，，

∴，

∴.------------11分

∴在中，，．

故銳二面角的余弦值為.

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為． ----------13分

法二：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱中平面∴．

∵，∴平面．

以為坐標原點，、、所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系．---------------------2分

易求得，，，，，，．-----4分

（Ⅰ），，，

∵，，

∴，，即，．

∵，∴平面．                    ---------------------6分

（Ⅱ）設是平面的法向量，由得

取，則是平面的一個法向量．          --------------------9分

又是平面的一個法向量，          -----------------11分

．

即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．----------13分

20．【解】（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設直線的方程為，

整理得 ． ①    ---------------------2分

    設是方程①的兩個不同的根，

    ∴，   ②                  ----------------4分

    且，由是線段的中點，得

    ，∴．

    解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．  --------------6分

    于是，直線的方程為，即      --------------7分

    法2：設，，則有

          --------2分

    依題意，，∴．                ---------------------4分

∵是的中點，

∴，，從而．

又由在橢圓內(nèi)，∴，

∴的取值范圍是．                           ----------------6分

直線的方程為，即．        ----------------7分

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③          -----------------9分

又設，的中點為，則是方程③的兩根，

∴．-----12分

到直線的距離，故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：．-----------14分

21．【解】（Ⅰ）由求導得，

∴曲線：在點處的切線方程為，即．

此切線與軸的交點的坐標為，

∴點的坐標為．即．                -------------------2分

∵點的坐標為（），在曲線上，所以，

∴曲線：在點處的切線方程為，---4分

令，得點的橫坐標為．

∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．

∴（）．                                  ---------------------6分

（Ⅱ）設、、，

∵

  --------9分==(定值)--------11分

（Ⅲ）設、、

則=

=

  --------13分

，

∵為常數(shù)，∴=為定值. -----------14分