如圖，已知曲線C₁：x²+y²=1（|x|＜1），C₂：x²=8y+1（|x|≥1），動直線l與C₁相切，與C₂相交于A，B兩點，曲線C₂在A，B處的切線相交于點M．
（1）當MA⊥MB時，求直線l的方程；
（2）試問在y軸上是否存在兩個定點T₁，T₂，當直線MT₁，MT₂斜率存在時，兩直線的斜率之積恒為定值？若存在，求出滿足的T₁，T₂點坐標；若不存在，請說明理由．

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如圖，已知曲線與拋物線c₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A、B，曲線c₁和拋物線c₂在點A處的切線分別為l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）當為定值時，求證k₁•k₂為定值（與p無關），并求出這個定值；
（Ⅱ）若直線l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線c₁和c₂的方程．

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如圖，已知曲線與拋物線c₂：x²=2py（p＞0）的交點分別為A、B，曲線c₁和拋物線c₂在點A處的切線分別為l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分別為k₁、k₂．
（Ⅰ）當為定值時，求證k₁•k₂為定值（與p無關），并求出這個定值；
（Ⅱ）若直線l₂與y軸的交點為D（0，-2），當a²+b²取得最小值9時，求曲線c₁和c₂的方程．

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已知函數(shù)f（x）=x³+x²，數(shù)列|x_n|（x_n＞0）的第一項x_n=1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））處的切線與經(jīng)過（0，0）和（x_n，f （x_n））兩點的直線平行（如圖）．
求證：當n∈N^*時，
（Ⅰ）x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1；
（Ⅱ）(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

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一.選擇題   1-5   6-10   11-12     BCDCA  DADBC  AC

二．填空題   13.  ;   14. ;    15. ; 

 16.

三、解答題

17．【解】（Ⅰ）由整理得，

即，------2分

∴，      -------5分

∵，∴。                  -------7分

【解】（Ⅱ）∵,∴最長邊為，              --------8分

∵，∴，              --------10分

∴為最小邊，由余弦定理得，解得，

∴，即最小邊長為1                      --------12分

18．【解】（Ⅰ）∵，∴．---2分

令，得，

∵，∴，即，∴，------4分

當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為；------5分

當時，．------6分

的單調(diào)遞減區(qū)間為和．------7分

（Ⅱ）∵時，；------8分

時，；時，，------9分

∴處取得極大值－7．  ------10分

即，解得．------12分                                

19．【解】（Ⅰ）由莖葉圖可求出10次記錄下的有記號的紅鯽魚與中國金魚數(shù)目的平均數(shù)均為20，故可認為池塘中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)目相同，設池塘中兩種魚的總數(shù)是，則有

，                                        ------------3分

即   ，

所以，可估計水庫中的紅鯽魚與中國金魚的數(shù)量均為25000．      ------------6分

（Ⅱ）從上述對總體的估計數(shù)據(jù)獲知，從池塘隨機捕出1只魚，它是中國金魚的概率為．隨機地從池塘逐只有放回地捕出5只魚，5只魚都是紅鯽魚的概率是，所以其中至少有一只中國金魚的概率．------12分

20．【解】在中，，，∴．

∵，∴四邊形為正方形．

       ----6分

（Ⅱ）當點為棱的中點時，平面．         ------8分

證明如下：

    如圖，取的中點，連、、，

∵、、分別為、、的中點，

∴．

∵平面，平面，

∴平面．　　　　    ------10分

同理可證平面．

∵，

∴平面平面．

∵平面，∴平面．   ------12分

21．【解】（Ⅰ）法1：依題意顯然的斜率存在，可設直線的方程為，

整理得 ． ①    ---------------------2分

    設是方程①的兩個不同的根，

    ∴，   ②                  ----------------4分

    且，由是線段的中點，得

    ，∴．

    解得，這個值滿足②式，

    于是，直線的方程為，即      --------------6分

    法2：設，，則有

          --------2分

    依題意，，∴．            ---------------------4分

∵是的中點， ∴，，從而．

直線的方程為，即．    ----------------6分

（Ⅱ）∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③             ---------------8分

又設，的中點為，則是方程③的兩根，

∴，．-----10分

到直線的距離，故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：．-----------12分

22．【解】（Ⅰ）由求導得，

∴曲線：在點處的切線方程為，即．

此切線與軸的交點的坐標為，

∴點的坐標為．即．                -------------------2分

∵點的坐標為（），在曲線上，所以，

∴曲線：在點處的切線方程為---4分

令，得點的橫坐標為．

∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．

∴（）．     ------------------6分

（Ⅱ）∵；，

∴．---------10分

（Ⅲ）因為，所以，

所以數(shù)列的前n項和的前n項和為①，

---------12分

②，

①―②得

，

所以          ---------14分