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如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．A    2．A    3．B    4．B    5．C    6．D    7．B    8．B

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．－     10．5       11．2，     12．12           13．26      14．－

注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分．

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（本小題滿分13分）

（Ⅰ）解：f（x）＝cos²x－sin²x+2sinxcosx+1＝sin2x+cos2x+1

＝2sin+1.  ……………………………………………5分

因此f（x）的最小正周期為，最小值為－1．……………………………7分

（Ⅱ）由f（）＝2得2 sin+1＝2，即sin＝． ………9分

而由∈得2+∈．……………………………10分

故2+＝．…………………………………………………………12分

解得＝． ………………………………………………………………13分

16．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以得40分的概率為

P＝×××＝． ………………………………………………5分

（Ⅱ）依題意，該考生得分的取值是20，25，30，35，40，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，故求概率為P（＝20）＝×××＝；

同樣可求得得分為25分的概率為

                                   P（＝25）＝××××+×××+×××＝；

得分為30分的概率為P（＝30）＝；

得分為35分的概率為，P（＝35）＝；

得分為40分的概率為P（＝40）＝．

于是的分布列為

20

25

30

35

40

P

………………………………………………………………………………11分

故E＝20×+25×+30×+35×+40×＝．

該考生所得分數(shù)的數(shù)學期望為  ………………………………………13分

17．（本小題滿分14分）

解法一：

（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁底面

ABC，BC₁在底面上的射影為CB．

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

所以ACBC₁………………………4分

（Ⅱ）過C作CEAB于E，連結C₁E．

由CC₁底面ABC可得C₁EAB．

故∠CEC₁為二面角C₁－AB－C的平面角．

在ABC中，CE＝，

             在RtCC₁E中，tanC₁EC＝＝，

故所求二面角的大小為arctan．……9分

（Ⅲ）存在點D使AC₁∥平面CDB₁，且D為AB中點，下面給出證明．

設BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁中點．連接OD．

在△ABC₁中，D，O分別為AB，BC₁的中點，故OD為△ABC₁的中位線，

∴OD∥AC₁，又AC₁平面CDB₁，OD平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁．

故存在點D為AB中點，使AC₁∥平面CDB₁． ………………………………14分

  解法二：

∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC，BC，CC₁兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則

C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

∴?＝0，故ACBC₁   ………………………………………………4分

（Ⅱ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），設平面C₁AB的一個法向量為             n＝（x₀，y₀，z₀），

＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

由得

令x₀＝4，則z₀＝3，y₀＝3．

則n＝（4，3，3）．

故cos＜m，n＞＝＝．

所求二面角的大小為arccos.   ………………………………………9分

（Ⅲ）同解法一   ………………………………………………………………………4分

18．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）依題意有，f ′（x）＝a+．……………………………………………3分

因此過（1，f（1））點的直線的斜率為a－1，又f（1）＝a，

所以，過（1，f（1））點的直線方程為y－a＝（a－1）（x－1）．…………4分

又已知圓的圓心為（－1，0），半徑為1，依題意，＝1．

解得a＝1． …………………………………………………………………6分

（Ⅱ）f ′（x）＝a+.

因為a＞0，所以2－＜2，又由已知x＜2．………………………………9分

令f ′（x）＞0，解得x＜2－，令f ′（x）＜0，解得2－＜x＜2． …11分

所以，f（x）的單調增區(qū)間是，

f（x）的單調減區(qū)間是．………………………………………13分

19．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為（0，－），故設橢圓方程為+＝1．

將點A（1，）代入方程得+＝1，整理得a⁴－5a²+4＝0，

解得a²＝4或a²＝1（舍）．

故所求橢圓方程為+＝1． …………………………………………6分

（Ⅱ）設直線BC的方程為y＝x+m，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），

代入橢圓方程并化簡得4x²+2mx+m²－4＝0，   …………………………9分

由＝8m²－16（m²－4）＝8（8－m²）＞0，可得m²＜8．

由x₁+x₂＝-m，x₁x₂＝，

故＝＝．

又點A到BC的距離為d＝， …………………………………………11分

故＝?d＝≤?＝，

當且僅當2m²＝16－2m²，即m＝±2時取等號（滿足＞0）

所以△ABC面積的最大值為． ………………………………………13分

20．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）依題意有y_n＝+，于是y_n+1－y_n＝．

所以數(shù)列是等差數(shù)列． ………………………………………………4分

（Ⅱ）由題意得＝n，即x_n+x_n+1＝2n，（n∈N^*）①

所以又有x_n+2+ x_n+1＝2（n+1）．                 ②……………………6分

由②－①得x_n+2－x_n＝2，可知x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差數(shù)列．那么得

x_2k－1＝x₁+2（k－1）＝2k+a－2，

x_2k＝x₂+2（k－1）＝2－a+2（k－1）＝2k－a．（k∈N^*）

故x_n＝  ……………………………………………10分

（Ⅲ）當n為奇數(shù)時，A_n（n+a－1，0），A_n+1（n+1－a，0），所以＝2（1－a）；

當n為偶數(shù)時，A_n（n－a，0）A_n+1（n+a，0），所以＝2a；

作B_nC_nx軸，垂足為C_n，則＝+，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1為直角三角形，必須且只需＝2.

當n為奇數(shù)時，有2（1－a）＝2，即12a＝11－3n．     ①

當n＝1時，a＝；當n＝3時，a＝；當n≥5時，①式無解．

當n為偶數(shù)時，有12a＝3n+1，同理可求得a＝．

綜上所述，上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中存在直角三角形，此時a的值為或 或.  ………………………………………………………………………14分