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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1­上的點，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級數(shù)學培優(yōu)學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長14米,現(xiàn)在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時相應(yīng)的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

   

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

B

A

B

C

D

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．

11．      12．    13．     14．    15．2

說明：第14題答案可以有多種形式，如可答或Z）等, 均給滿分.

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.

 

16．(本小題滿分12分)          

解：（1）∵

                                       

                                         

             .                                6分

∴.                                            8分

(2) 當時, 取得最大值, 其值為2 . ……………………10分

此時，即Z. ……………………12分

 

17. (本小題滿分12分)

解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數(shù)為人. ………… 3分

∵各班被抽取的學生人數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)其公差為,

由=100,解得.  …………………………………… 6分

∴各班被抽取的學生人數(shù)分別是22人，24人，26人，28人. …… 8分

(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數(shù)不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.  ………………………………12分

18．(本小題滿分14分)

解：（1）∵ ⊥平面，平面，     

∴ ⊥.             ………………………………………………2分

∵ ⊥，，

∴ ⊥平面， ……………………………………………………4分

∵ 平面，

∴ ⊥.      …………………………………………………………6分

（2）法1: 取線段的中點，的中點，連結(jié),

則是△中位線.

∴∥，，  …………………………8分

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，  …………………………10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.       …………………………………… 13分

∴ 線段的中點是符合題意要求的點． ……………………………………14分

 法2: 取線段的中點，的中點，連結(jié),

則是△的中位線.

∴∥，，  …………………………8分

∵平面, 平面,

∴平面.                        

∵ ，，

∴.

∴ 四邊形是平行四邊形，  ……………………………………10分

∴ .

∵ 平面，平面，

∴ ∥平面.                                       

∵,

∴平面平面.……………………………………………………12分

∵平面,

∴∥平面.                                         

∴ 線段的中點是符合題意要求的點．………………………………   14分

19. (本小題滿分14分)

解:(1)依題意知,      …………………………………………2分            

    ∵,

∴.    ………………………………………… 5分

∴所求橢圓的方程為.  …………………………………………6分

（2）∵ 點關(guān)于直線的對稱點為，

∴                                        

解得：，.          …………………………8分

 

∴.                            ……………………………10分

∵ 點在橢圓:上,

∴, 則.………………………………………………12分

∴的取值范圍為.      …………………………………………14分

20. (本小題滿分14分)

(1) 解：當時，.　               ……………………………………1分                       

　  當時，

.               …………………………………………4分

∵不適合上式,

∴　　    ………………………………………………………5分

（2）證明: ∵.

當時，            ………………………………………………6分

當時，,　　　       ①

.　 �、�

①－②得:

　 　             

得，     …………………………………………10分

此式當時也適合.

∴N.　　                              

　         　∵，

∴.                   …………………………………………………11分

當時，，

∴.                                    

∵，

∴.　                                    

故，即.   ……………………………………………13分

綜上，．       ………………………………14分

 

21. (本小題滿分14分)

解：（1）當時，，

∴.                    

       令=0, 得 .     ………………………………………………2分

當時,, 則在上單調(diào)遞增;

當時,, 則在上單調(diào)遞減;

當時,, 在上單調(diào)遞增.         …………………………2分

∴ 當時, 取得極大值為;…………………………4分

當時, 取得極小值為. ………………………6分

 

 

（2） ∵ = ，

∴△= =  .                             

① 若a≥1，則△≤0，                                         

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調(diào)遞增 .                                                   

∵f（0），,                  

∴當a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．   ……………………9分

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)為x1，x2，（x1<x2）．

∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．  

當變化時，的取值情況如下表：                        

x

x1

（x1，x2）

x2

+

0

－

0

+

f（x）

ㄊ

極大值

 

ㄋ

極小值

 

ㄊ

                                    

∵,

∴.

∴

        

       

        .

同理.

∴

.

          令f（x1）?f（x2）＞0,  解得a＞．                                    

          而當時,,

          故當時, 函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.                                     

綜上所述，a的取值范圍是．            ……………………………………14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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