設正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.且對任意的.Sn是和an的等差中項．(1) 求數(shù)列{an}的通項公式, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=
1
2
(an+
1
an
)（n∈N+），試求a1、a2、a3，并猜想an，然后用數(shù)學歸納法進行證明．

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設正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=
1
2
(an+
1
an
)，（n∈N*）．
（Ⅰ）試求a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想an的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．

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設正數(shù)數(shù)列{an} 的前n項和為 Sn，且對任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項．
（1）求數(shù)列{an} 的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式Sn-1005＞
an22
對一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

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設正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且數(shù)學公式，（n∈N*）．
（Ⅰ）試求a1，a2，a3；
（Ⅱ）猜想an的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明．

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設正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式數(shù)學公式對一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；
（3）請構造一個與數(shù)列{Sn}有關的數(shù)列{un}，使得數(shù)學公式存在，并求出這個極限值．

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2009年4月

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．

1．B    2．A    3．C    4．C    5．B    6．A    7．C    8．A    9．B   10．B

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．4                                      12．                                  13．

14．                                  15．①

三、解答題：本題共6小題，共75分．

16．解：(1)  

∴

∵

∴  

∴

(2)  

∴        

∴  

∴  

∴  

17．解：(1) 甲隊以二比一獲勝，即前兩場中甲勝1場，第三場甲獲勝，其概率為

(2) 乙隊以2∶0獲勝的概率為；

乙隊以2∶１獲勝的概率為

∴乙隊獲勝的概率為P2=P'2+Ｐ''2=0.16+0.192=0.352.

18．解：(1) ∵  函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴

∵       ∴  ．

又在處的切線方程為，

由

∴  ，且， ∴  得

(2)

依題意對任意恒成立，   

∴ 對任意恒成立，即對任意恒成立，

∴ ．

19．解法一：(1) 證明：取中點為，連結、，

               ∵△是等邊三角形， ∴

               又∵側面底面，

               ∴底面，

               ∴為在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，  ∴，

                ∴，      ∴．

(2) 取中點，連結、，    

    ∵．    ∴．

又∵，，

∴平面，∴，

∴是二面角的平面角.                  

∵，，

∴．

∴，∴，∴，

∴二面角的大小為                       

解法二：證明：(1) 取中點為，中點為，連結，

∵△是等邊三角形，∴，

又∵側面底面，∴底面，

∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系

如圖，   

∵，△是等邊三角形，

∴，

∴．

∴．

∵     ∴．

(2) 設平面的法向量為

∵   ∴

令，則，∴               

設平面的法向量為，              

∵，∴，

令，則，∴       

∴，

∴，   ∴二面角的大小為.        

20．解：(1) 由題意得，  ①， 

當時，，解得，

當時，有  ②，

①式減去②式得，

于是，，，

因為，所以，

所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，

所以的通項公式為（）．

(2) 設存在滿足條件的正整數(shù)，則，，，

又，，…，，，，…，，

所以，，…，均滿足條件，

它們組成首項為，公差為的等差數(shù)列．……（8分）

設共有個滿足條件的正整數(shù)，則，解得．（10分）

所以，中滿足條件的正整數(shù)存在，共有個，的最小值為．（12分）

21．（Ⅰ）法1：依題意，顯然的斜率存在,可設直線的方程為

，

整理得 ． ①

設是方程①的兩個不同的根，

∴，   ②

且，由是線段的中點，得

，∴．

解得，代入②得，的取值范圍是（12，+∞）．

于是，直線的方程為，即   

法2：設，，則有

 

依題意，，∴．

∵是的中點，∴，，從而．

又由在橢圓內(nèi)，∴，

∴的取值范圍是．    

直線的方程為，即．   

(2)  ∵垂直平分，∴直線的方程為，即，

代入橢圓方程，整理得．  ③      

又設，的中點為，則是方程③的兩根，

∴．

到直線的距離，

故所求的以線段的中點為圓心且與直線相切的圓的方程為：

．

 


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