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在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線.
（1）過的左頂點引的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積；（4分）
（2）設(shè)斜率為1的直線l交于P、Q兩點，若l與圓相切，求證：OP⊥OQ；（6分）
（3）設(shè)橢圓. 若M、N分別是、上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.（6分）

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在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點，M（1，-3），N（5，1）.若點C滿足=t +（1-t）(t∈R).點C的軌道與拋物線y²=4x交于A、B兩點.

（Ⅰ）求證：⊥；

（Ⅱ）在x軸正半軸上是否存在一定點P（m,0),使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

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在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線C上任意一點P到兩個定點和的距離之和為4．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過（0，-2）的直線l與曲線C交于A、B兩點，以線段AB為直徑作圓．試問：該圓能否經(jīng)過坐標(biāo)原點？若能，請寫出此時直線l的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

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一、選擇題

1―5  ACDAA    6―10  BACDB    11―12  AC

二、填空題

13．-    14．12       15．-4或-26     16．②④

三、解答題

17．（1）由題意：

又A+B

   （2）當(dāng)A+B=時，2A+2B=

按向量平移后得到函數(shù)的圖象；故     10分

18．解：（1）ξ的可能取值為1，2，3，4

   （2）由題意，兩人各自從自己箱子里任取一球比顏色共有C（種）不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，

則P（A）=

甲獲勝的概率小于乙獲勝的概率，不公平。                                                    12分

19．解法：（1）連結(jié)AC交BD于點O，則PO⊥面ABCD，又AC⊥BD

  PA⊥BD，₁D₁，PA⊥B₁D₁

    （2）AO⊥BD，AO⊥PO，AO⊥面PBD，過點O作OM⊥PD于M，連結(jié)AM，則AM⊥PD

         ∠AMO就是二面角A－PD－O的平面角θ，又AB=2，

PA=

                                        8分

   （3）分別取AD、BC中點E、F，作平面PEF，交底面于兩點S、S₁交B₁C₁于點B₂，過點B₂作B₂B₃⊥PS于點B₃，則B₂B₃⊥面PAD，又B₁C₁//AD，B₂B₃的長就是點B₁到平面PAD的距離，PO=AA₁=2

          EF= 

                                  12分

    _{方法二，坐標(biāo)法略}

_{20．解：（1）當(dāng)x=1時，}

   _{且x=1時也符合上式}

_{故                                                                                                              6分}

   _{（2）該商場預(yù)計第x月銷售該商品的月利潤為}

_（舍）

_{當(dāng)1≤x＜5時，                                                                                                          10分}

當(dāng)x=5時，元                                                          10分

綜上，商場2009年第5月份的月利潤最大為3125元。                                       12分

21．解：（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)|CA|+|CB|=2a(a＞3)，點c的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且焦距2c=|AB|=6

此時|PA|=|PB|，P（0，±4）

                                                            5分

   （2）不妨設(shè)A點坐標(biāo)為A（-3，0），M（x₁,y₁）,N(x₂,y₂)

    ①當(dāng)直線MN的傾斜角不為90°時，設(shè)其方程為：

    代入橢圓方程化簡得：

顯然

由橢圓第二定義得：

     =25+

只要考慮：的最小值，即1

顯然當(dāng)k=0時，的最小值16。                                                         10分

   ②當(dāng)直線MN的傾角為90°時，x₁=x₂=－3，得=

           這樣的M、N不存在

即的最小值集合為空集。                                                         12分

22．解（1）：由

   即數(shù)列為公正比的等比數(shù)列

                                                                                                         4分

   （2）

即要證明：成立

令

即是減函數(shù)，故

都成立

故成立                                                                8分

   （3）

       利用錯位相減法求得：

       故                                                                          12分