設函數(shù)．

(Ⅰ) 當時，求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ) 若在上的最大值為，求的值．

【解析】第一問中利用函數(shù)的定義域為（0，2），.

當a=1時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；

第二問中，利用當時， >0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

解：函數(shù)的定義域為（0，2），.

（1）當時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，2）；

（2）當時， >0, 即在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為f(1)=a 因此a=1/2.

 

給出下列四個命題：

①函數(shù)在區(qū)間上存在零點；

②若，則函數(shù)在處取得極值；

③若，則函數(shù)的值域為；

④“”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件。

以上命題正確的是             （寫出所有正確命題的編號）.

 

 給出下列四個命題：

①函數(shù)在區(qū)間上存在零點；

    ②若，則函數(shù)在處取得極值；

    ③若，則函數(shù)的值域為；

    ④“”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件。

以上命題正確的是             （寫出所有正確命題的編號）.

 

已知函數(shù)．（）

（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍．

【解析】第一問中，首先利用在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上恒成立，然后分離參數(shù)法得到，進而得到范圍；第二問中，在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．然后求解得到。

解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則在區(qū)間上恒成立．  …………3分

即，而當時，，故． …………5分

所以．                 …………6分

（2）令，定義域為．

在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立．   

∵        …………9分

① 若，令，得極值點，，

當，即時，在（，+∞)上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意；

當，即時，同理可知，在區(qū)間上遞增，

有，也不合題意；                     …………11分

② 若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)；

要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足，

由此求得的范圍是．        …………13分

綜合①②可知，當時，函數(shù)的圖象恒在直線下方．

 

如圖，某市準備在道路EF的一側(cè)修建一條運動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin(ωx+

2π

3

)（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]時的圖象，且圖象的最高點為B（-1，2）．賽道的中間部分為長

3

千米的直線跑道CD，且CD∥EF．賽道的后一部分是以O為圓心的一段圓弧

DE

．
（1）求ω的值和∠DOE的大�。�
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧

DE

上，且∠POE=θ，求當“矩形草坪”的面積取最大值時θ的值．