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（本小題滿分12分）

如圖所示，在正三棱柱中，底面邊長為，側(cè)棱長為，是棱的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的大��；[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

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一、選擇題:1-5 :A D B D C  6-10: C C C D B  11-12: B B學(xué)科網(wǎng)

二、填空題: 13,  14.  3  15.  16. （1，2），（3，402）學(xué)科網(wǎng)

三、解答題

三、解答題（本大題共6小題，共70分）

17．（12分）

解：（1）∥             2分

          4分 

又為銳角                 6分

（Ⅱ）   由    得 

又代入上式得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。） 9分

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。）     11分

的面積的取值范圍為.                               12分

18．（12分）

解法一：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

，．

，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ），，

．

又，．

又，即，且，

平面．

取中點(diǎn)．連結(jié)．

，．

是在平面內(nèi)的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．二面角的余弦值為

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長即為點(diǎn)到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．平面，

．

在中，，，．．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：

（Ⅰ），，．

又，．

，平面．

平面，．

（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則．設(shè)．

，，．

取中點(diǎn)，連結(jié)．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．二面角的余弦值為．

（Ⅲ），

在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長為點(diǎn)到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系．

，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

．點(diǎn)到平面的距離為．

19.（12分）

解：（Ⅰ）由條件得，又時(shí)，，

　　　故數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為1，公式為的等比數(shù)列．從而，即．

（Ⅱ）由得，

，

兩式相減得 ： ， 所以 ．

（Ⅲ）由得

　　　所以．

20.（12分）

解：（Ⅰ）①當(dāng)0＜t10時(shí)，V(t)=(－t²+14t－40)

化簡得t²－14t+40>0,

解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.

②當(dāng)10＜t12時(shí)，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,

化簡得（t－10）（3t－41）＜0,

解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.

綜合得0<t<4,或10<t12,

故知枯水期為1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.

由V′（t）=

令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).

當(dāng)t變化時(shí)，V′(t) 與V (t)的變化情況如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

－

V(t)

極大值

由上表，V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e²+50－108.32(億立方米).

故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米

21.（12分）

解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．

因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形，所以．

于是可設(shè)直線的方程為．

由得．

因?yàn)?sub>在橢圓上，

所以，解得．

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則，，，．

所以．

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上，

所以，解得．

所以直線的方程為，即．

（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形，且，

所以．

所以菱形的面積．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值．

22.（10分）解：從⊙O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD.

【分析1】構(gòu)造兩個(gè)全等△.

連結(jié)ED、AC、AF。

CF=DF←△ACF≌△EDF←

←

←∠PAB=∠AEB=∠PFB

【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB.

←∠PFB=∠POB←

←

23.（10分）解：（Ⅰ）是圓，是直線．

的普通方程為，圓心，半徑．

的普通方程為．

因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以與只有一個(gè)公共點(diǎn)．

（Ⅱ）壓縮后的參數(shù)方程分別為

：（為參數(shù)）； ：（t為參數(shù)）．

化為普通方程為：：，：，

聯(lián)立消元得，其判別式，

所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同．

24.（10分）解：

（Ⅰ）

圖像如下：

（Ⅱ）不等式