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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，

    D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn)， M為棱AA1­上的點(diǎn)，二面角M―DE―A為30°.

   （1）求MA的長(zhǎng)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   （2）求點(diǎn)C到平面MDE的距離。

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(本小題滿(mǎn)分12分)某校高2010級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)習(xí)小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。

（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿(mǎn)分12分)

某廠(chǎng)有一面舊墻長(zhǎng)14米,現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠(chǎng)房,工程條件是①建1米新墻費(fèi)用為a元；②修1米舊墻的費(fèi)用為元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為元,經(jīng)過(guò)討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠(chǎng)房一面的邊長(zhǎng)；(2)矩形廠(chǎng)房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x≥14.問(wèn)如何利用舊墻,即x為多少米時(shí),建墻費(fèi)用最省?(1)、(2)兩種方案哪個(gè)更好?

 

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(本小題滿(mǎn)分12分)

已知a,b是正常數(shù), a≠b, x，y(0,＋∞).

   (1)求證:≥,并指出等號(hào)成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時(shí)相應(yīng)的x 的值.

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(本小題滿(mǎn)分12分)

已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋b，y=－ka＋b (kR).

   (1)若t=1,且x∥y,求k的值；

   (2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.

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一、 選擇題：1. A  2. B  3. D  4. B  5. A  6. A  7. C  8. C  9. D  10. C 

11. C  12. B

二、 填空題：13. 7；14. 111；15. 323；16. 3

三、 解答題：

17. 解：(1) ∵f(0)=8，

∴………………2分

即  ∴………………………6分

(2) 由(1)知：…………………7分

……………………8分

…………………9分

………………………10分

∴，此時(shí) (k∈Z)………………………11分

即 (k∈Z）時(shí)，.……………………………12分

18. 解：(1) ，…3分

∴分布列為：

0

1

2

………………………………………………5分

∴……………………………7分

(2) ……………………12分

19. 解：(1) 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由題意知：

即?，兩式相減可得：………………………2分

∴ (n∈)…………………………4分

設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，由題意知：，即

兩式相除可得：，則………………………6分

∴ (n∈)………………………8分

(2) 假設(shè)存在，則，

為正整數(shù).

故存在p，滿(mǎn)足………………12分

20. 解法一：(1) 連結(jié)交BD于F.

6ec8aac122bd4f6e∵D為中點(diǎn)，，

∴，

Rt△BCD∽R(shí)t△，∴∠=∠CDB，

∴⊥BD………………2分

∵直三棱柱中，平面ABC⊥平面，

又AC⊥BC，∴AC⊥平面，∴AC⊥BD，

AC∩=C，BD⊥平面，∴⊥BD…………………4分

又在正方形中，⊥…………………………………5分

∴⊥平面.……………………………6分

(2) 設(shè)與交于點(diǎn)M，AC=1，連結(jié)AF、MF，

由(1)知BD⊥平面，∴MF⊥BD，AF⊥BD，

∴∠AFM是二面角A-BD-的平面角………………………9分

在Rt△AFB中，AB=，BF=，∠AFB = 90°，

∴AF=，又，∠AMF = 90°，∴sin∠AFM=，∴∠AFM=，

故二面角A-BD-的大小為.…………………………12分

方法二：直三棱柱中，∠ACB=90°，

以C為原點(diǎn)O，CB、、CA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)AC=2，

則B(2,0,0)，,,A(0,0,2),D(0, ,0)…………………2分

(1) ，，，

，，…………………4分

∴⊥BD，⊥，又∩BD=D，

∴⊥平面；……………………………6分

6ec8aac122bd4f6e(2) 由(1)知⊥平面，且，…8分

設(shè)，且⊥，⊥

∵,，

∴,，即2x-2z=0，-2x+2y=0，令x=1，

得平面ABD的一法向量，………………10分

又，∴，

∴二面角的大小為.…………………………………12分

21. 解：(1) 設(shè)P(x,y)代入得點(diǎn)P的軌跡方程為.……5分

(2) 設(shè)過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)斜率存在時(shí)的方程為，且A(),B()在上，則由代入得

.…………………6分

∴，.

∴.………………8分

令，∴＝.…8分

∵≥0，∴≤＜0，∴.………………10分

當(dāng)過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，其方程為x=-1，解得,.此時(shí).11分

所以的取值范圍為.………………12分

22. 解:(1) ……3分

∵＞0.以下討論函數(shù)的情況.

① 當(dāng)a≥0時(shí)，≤-1＜0，即＜0.

所以在R上是單調(diào)遞減的.…………………………5分

② 當(dāng)a＜0時(shí)，的兩根分別為且＜.

在（-∞, ）和（,+∞）上＞0，即＞0.

所以函數(shù)的遞增區(qū)間為（-∞, ）和（,+∞）；

同理函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為（，）.………………9分

綜上所述：當(dāng)a≥0時(shí)，在R上是單調(diào)遞減的；

當(dāng)a＜0時(shí)，在（-∞, ）和（,+∞）上單調(diào)遞增，

在（，）上是單調(diào)遞減的.………………………10分

(2) 當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，＜1, =＞2,………12分

∴當(dāng)x∈［1,2］時(shí)，是單調(diào)遞減的.………………13分

∴. ………………………………14分

 


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