對(duì)于正整數(shù)a，b，存在唯一一對(duì)整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特別地，當(dāng)r=0時(shí)，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
（Ⅱ）求證：不存在這樣的函數(shù)f：A→{1，2，3}，使得對(duì)任意的整數(shù)x₁，x₂∈A，若|x₁-x₂|∈{1，2，3}，則f（x₁）≠f（x₂）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的個(gè)數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“和諧集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12個(gè)元素的任意子集為“和諧集”，并說(shuō)明理由．

20080416

二、填空題：每題5分，共20分）

13．   14.或或;  15.a=-1或a=-;   

16．①④

17．解：（1），

．又，．（6分）

（2）由且，

得．，．（6分）

18．證法一：向量法

證法二：（1）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，∴BC⊥平面ABB₁A₁

又A₁E在平面ABB₁A₁內(nèi)     ∴有BC⊥A₁E

（2）取B₁C的中點(diǎn)D，連接FD、BD

∵F、D分別是AC₁、B₁C之中點(diǎn)，∴FD∥A₁B₁∥BE

∴四邊形EFBD為平行四邊形    ∴EF∥BD

又BD平面BCC₁B₁   

∴EF∥面BCC₁B₁

（3）過B₁作B₁H⊥CEFH，連BH，又B₁B⊥面BAC，B1H⊥CE

∴BH⊥EC    ∴∠B₁HB為二面角B₁-EC-B平面角

在Rt△BCE中有BE=，BC=，CE=，BH=

又∠A₁CA=      ∴BB₁=AA₁=AC=2   

∴tan∠B₁HB=

19．解（1）由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-aCosφ）²+（y-aSinφ）²=a²（a>0）

設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為（x,y）,

則（為參數(shù)）,消參數(shù)得圓心的軌跡方程為:x²+y²=a²,（5分）

  （2）有方程組得公共弦的方

程:圓X²+Y²=a²的圓心到公共弦的距離d=，（定值）

∴弦長(zhǎng)l=（定值）        （5分）

20．（1）合格結(jié)果：0,1,2,3   相應(yīng)月盈利額X=-30，5，40，75

（2）P（X≥40）=P（X=40）+P（X=75）=

（3）

X

-30

5

40

75

P

EX=54（元）    ∴6個(gè)月平均：6×54=324（元）

21．（1）由已知：   

依題意得：≥0對(duì)x∈成立

∴ax-1≥0,對(duì)x∈恒成立，即a≥,對(duì)x∈恒成立，

∴a≥（）_max,即a≥1.

（2）當(dāng)a=1時(shí)，，x∈[,2]，若x∈，則，

若x∈，則，故x=1是函數(shù)f（x）在區(qū)間[,2]上唯一的極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)，故f（x）_min=f（1）=0.

又f（）=1-ln2，f（2）=- +ln2，f（）-f（2）=-2ln2=，

∵e³>2.7³=19.683>16，

∴f（）-f（2）>0   

∴f（）>f（2）  

∴f（x）在[,2]上最大值是f（）

∴f（x）在[,2]最大1-ln2，最小0

（3）當(dāng)a=1時(shí)，由（1）知，f（x）=+lnx在

當(dāng)n>1時(shí)，令x=，則x>1     ∴f（x）>f（1）=0

即

即ln>

22．解：（1）設(shè)橢圓方程為（a>b>0）

則     ∴橢圓方程

（2） ∵直線∥DM且在y軸上的截距為m，∴y=x+m

由

∵與橢圓交于A、B兩點(diǎn)

∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）

（3）設(shè)直線MA、MB斜率分別為k₁,k₂，則只要證：k₁+k₂=0

設(shè)A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,則k₁=,k₂=

由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4

而k₁+k₂=+= （*）

又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m

∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（ x₂+m -1）（x₁-2）

=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）

=2m²-4+（m-2）（-m）-4（m-1）

  =0

∴k₁+k₂=0,證之.