設f（x）是定義在R上的函數，對任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，當x＞0時，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調性；
（3）若關于x的不等式f（|x|x+a²x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整數為2，求實數a的取值范圍．

20080416

二、填空題：每題5分，共20分）

13．   14.或或;  15.a=-1或a=-;   

16．①④

17．解：（1），

．又，．（6分）

（2）由且，

得．，．（6分）

18．證法一：向量法

證法二：（1）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，∴BC⊥平面ABB₁A₁

又A₁E在平面ABB₁A₁內     ∴有BC⊥A₁E

（2）取B₁C的中點D，連接FD、BD

∵F、D分別是AC₁、B₁C之中點，∴FD∥A₁B₁∥BE

∴四邊形EFBD為平行四邊形    ∴EF∥BD

又BD平面BCC₁B₁   

∴EF∥面BCC₁B₁

（3）過B₁作B₁H⊥CEFH，連BH，又B₁B⊥面BAC，B1H⊥CE

∴BH⊥EC    ∴∠B₁HB為二面角B₁-EC-B平面角

在Rt△BCE中有BE=，BC=，CE=，BH=

又∠A₁CA=      ∴BB₁=AA₁=AC=2   

∴tan∠B₁HB=

19．解（1）由已知圓的標準方程為：（x-aCosφ）²+（y-aSinφ）²=a²（a>0）

設圓的圓心坐標為（x,y）,

則（為參數）,消參數得圓心的軌跡方程為:x²+y²=a²,（5分）

  （2）有方程組得公共弦的方

程:圓X²+Y²=a²的圓心到公共弦的距離d=，（定值）

∴弦長l=（定值）        （5分）

20．（1）合格結果：0,1,2,3   相應月盈利額X=-30，5，40，75

（2）P（X≥40）=P（X=40）+P（X=75）=

（3）

X

-30

5

40

75

P

EX=54（元）    ∴6個月平均：6×54=324（元）

21．（1）由已知：   

依題意得：≥0對x∈成立

∴ax-1≥0,對x∈恒成立，即a≥,對x∈恒成立，

∴a≥（）_max,即a≥1.

（2）當a=1時，，x∈[,2]，若x∈，則，

若x∈，則，故x=1是函數f（x）在區(qū)間[,2]上唯一的極小值點，也就是最小值點，故f（x）_min=f（1）=0.

又f（）=1-ln2，f（2）=- +ln2，f（）-f（2）=-2ln2=，

∵e³>2.7³=19.683>16，

∴f（）-f（2）>0   

∴f（）>f（2）  

∴f（x）在[,2]上最大值是f（）

∴f（x）在[,2]最大1-ln2，最小0

（3）當a=1時，由（1）知，f（x）=+lnx在

當n>1時，令x=，則x>1     ∴f（x）>f（1）=0

即

即ln>

22．解：（1）設橢圓方程為（a>b>0）

則     ∴橢圓方程

（2） ∵直線∥DM且在y軸上的截距為m，∴y=x+m

由

∵與橢圓交于A、B兩點

∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）

（3）設直線MA、MB斜率分別為k₁,k₂，則只要證：k₁+k₂=0

設A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,則k₁=,k₂=

由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4

而k₁+k₂=+= （*）

又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m

∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（ x₂+m -1）（x₁-2）

=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）

=2m²-4+（m-2）（-m）-4（m-1）

  =0

∴k₁+k₂=0,證之.