已知橢圓過(guò)點(diǎn)且它的離心率為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點(diǎn)．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

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已知橢圓過(guò)點(diǎn)且它的離心率為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓C₁的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，直線l₁過(guò)點(diǎn)F₁且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線l₂垂直l₁于點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點(diǎn)．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

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已知拋物線C：y²=ax（a＞0），拋物線上一點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離是3．
（1）求a的值；
（2）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)P（4，0），交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長(zhǎng)；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.

1．A  2．C  3．C  4．A   5．C   6．B  7．D 8．C   9．D   10．D   11．B  12．D

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.

13．     14．±2     15．     16．40

三、解答題：本大題共6小題，共74分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17．解：

，聯(lián)合

得，即

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

18．解：由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.

   （1）連結(jié)AC₁，AB₁.

由直三棱柱的性質(zhì)得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，

所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為矩形.

由矩形性質(zhì)得AB₁過(guò)A₁B的中點(diǎn)M.

在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN//AC₁，

又AC₁平面ACC₁A₁，MN平面ACC₁A₁，

所以MN//平面ACC₁A₁

   （2）因?yàn)锽C⊥平面ACC₁A₁，AC平面ACC₁A₁，

所以BC⊥AC₁.

在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.

又因?yàn)锽C∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC.

由MN//AC₁，得MN⊥平面A₁BC.

   （3）由題意CB，CA，CC₁兩兩垂直，故可以C為的點(diǎn)，

CB，CA，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

又AC = BC = CC₁ = a，

則

則AB中點(diǎn)E的坐標(biāo)為， 

為平面AA₁B的法向量.

又AC₁⊥平面A₁BC，故為平面A₁BC的法向量

設(shè)二面角A―A₁B―C的大小為θ，

則

由題意可知，θ為銳角，所以θ= 60°，即二面角A―A₁B―C為60°

19．解：（1）每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨(dú)立的.

所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是

.

   （2）由題設(shè)，必須整改的煤礦數(shù)服從二項(xiàng)分布B(5,0.5).從而的數(shù)學(xué)期望是

E＝，即平均有2.50家煤礦必須整改.

   （3）某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨(dú)立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是

20．（1）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，

直線的方程為，與聯(lián)立得

消去得．

由韋達(dá)定理得，．

于是．

，

      當(dāng)，．

   （2）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，

設(shè)的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，

則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

，

，

，

．

令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．

21．解：（1）當(dāng)時(shí)，，

∵，∴在上是減函數(shù).

   （2）∵不等式恒成立，即不等式恒成立，

∴不等式恒成立. 當(dāng)時(shí)，  不恒成立；

當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，∴.

當(dāng)時(shí)，不等式不恒成立. 綜上，的取值范圍是.

22．解：（1）∵ 的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列

∴ .

∵ 位于函數(shù)的圖象上,

∴ ,

∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為.

   （2）據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為：,

即．

∵ 拋物線過(guò)點(diǎn)（0，）,

∴ ,

∴   ∴ ．

∵ 過(guò)點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線即為以為切點(diǎn)的切線，

∴ ．

∴ （），

∴

∴ ．

   （3）∵    ，

∴ 中的元素即為兩個(gè)等差數(shù)列與中的公共項(xiàng)，它們組成以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列．

∵ ，且成等差數(shù)列，是中的最大數(shù)，

∴ ，其公差為．

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)    ∴ 不滿足題意，舍去．

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

∴ ．

當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)， 不滿足題意，舍去．

綜上所述，所求通項(xiàng)為．