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如圖組合體中，三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與重合一個(gè)點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：無論點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)，平面平面；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐與圓柱的體積比。

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如圖組合體中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個(gè)點(diǎn)．
（1）求證：無論點(diǎn)C如何運(yùn)動(dòng)，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）當(dāng)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．

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一．選擇題：DCDDA  DDBBC

解析：1：復(fù)數(shù)i的一個(gè)輻角為90⁰，利用立方根的幾何意義知，另兩個(gè)立方根的輻角分別是90⁰+120⁰與90⁰+240⁰，即210⁰與330⁰，故虛部都小于0，答案為（D）。 

2：把x=3代入不等式組驗(yàn)算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗(yàn)算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).

3：在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于與的對(duì)稱式，因此選項(xiàng)在A、B為等價(jià)命題都被淘汰，若選項(xiàng)C正確，則有，即，從而C被淘汰，故選D。

4：“對(duì)任意的x₁、x₂­，當(dāng)時(shí)，”實(shí)質(zhì)上就是“函數(shù)單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時(shí)還隱含了“有意義”。事實(shí)上由于在時(shí)遞減，從而由此得a的取值范圍為。故選D。

5：由韋達(dá)定理知

.從而，故故選A。

6：當(dāng)點(diǎn)A為切點(diǎn)時(shí)，所求的切線方程為，當(dāng)A點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，所求的切線方程為故選D。

7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴V_F－ABCD＝?3²?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.

8：由二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)有C＋C＋…＋C＋C＝2，選B.

9：取特殊數(shù)列=3，則==10，選(B).

10：本題是考查雙曲線漸近線夾角與離心率的一個(gè)關(guān)系式，故可用特殊方程來考察。取雙曲線方程為－=1，易得離心率e=,cos=，故選C。

二．填空題：11、； 12、；13、；14、，；15、，；

解析：11：因?yàn)?sub>（定值），于是，，，又，  故原式=。

12：因?yàn)檎�方形的面積是16，內(nèi)切圓的面積是，所以豆子落入圓內(nèi)的概率是．

13：設(shè)k = 0，因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。

14.（略）

15.（略）

三．解答題：

16．解：（1）∵對(duì)任意，，∴--2分

    ∵不恒等于，∴--------------------------4分

   （2）設(shè)

①時(shí)，由  解得：

由  解得其反函數(shù)為  ，-----------------7分

②時(shí)，由  解得：

解得函數(shù)的反函數(shù)為，--------------------9分

∵

∴------------------------------------------------------------------12分

１7．解：（Ⅰ）依題意，有

，．

因此，的解析式為；      …………………6分

（Ⅱ）由（）得（），解之得

（）

由此可得

且，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．    …………………12分

18.（I）因?yàn)閭?cè)面是圓柱的的軸截面，是圓柱底面圓周上不與、重合一個(gè)點(diǎn)，所以  …………………2分

又圓柱母線^平面， Ì平面，所以^，

又，所以^平面，

因?yàn)?sub>Ì平面，所以平面平面；…………………………………6分

（II）設(shè)圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)度為，

當(dāng)點(diǎn)是弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積為，

三棱柱的體積為，三棱錐的體積為，

四棱錐的體積為，………………………………………10分

圓柱的體積為，                    ………………………………………………12分

四棱錐與圓柱的體積比為.……………………………………………14分

19.(Ⅰ)解：∵

        ∴

∴數(shù)列是首項(xiàng)為（），公比為2的等比數(shù)列，………………4分

，

，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得:

由此可猜想，即 …………………10分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝1，右邊＝,

當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立，

（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即

當(dāng)n＝k＋1時(shí)

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立，

綜上所述，存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意的有成立。              …………………14分

20.解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：，  ……………2分

∵，∴，

又得    ∴      ………………4分

∴，∴所求橢圓C的方程為．  …………………6分

(Ⅱ)由（Ⅰ）知點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B為（0，－1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

則，,  由－4得－，

∴點(diǎn)P的軌跡方程為      …………………8分

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，

解得：，…………………10分

∵點(diǎn)在橢圓上，

∴ ，

整理得解得或  …………………12分

∴點(diǎn)P的軌跡方程為或，經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，

∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或．…………………14分

21.解（1）         …………………1分

，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)�！�………………3分

（2）令，則

 ，…………………5分

在內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即，使成立�！�………………8分

（3）       假設(shè)存在，由①知拋物線的對(duì)稱軸為x＝－1，且

∴     ………………10分

由②知對(duì),都有

令得

由得，                          …………………12分

當(dāng)時(shí)，，其頂點(diǎn)為（－1，0）滿足條件①，又對(duì),都有，滿足條件②。

∴存在，使同時(shí)滿足條件①、②。     …………………14分