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18．在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.點(diǎn)A為△OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，—2），點(diǎn)C滿足，其中，且，

（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線（a>0，b>0）相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：為定值；

（3）在（2）的條件下，若雙曲線的離心率不大于，求雙曲線實(shí)軸長的取值范圍。

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（本小題滿分14分）

設(shè)函數(shù)，其中．

( I )若函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在的圖象上，求m的值；

(Ⅱ)當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；

(Ⅲ)在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，

使△OPQ(O為原點(diǎn))是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且該三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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（本小題滿分14分）如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為A₁，A，上頂點(diǎn)B，拋物線C₁，C₂分別以A₁，B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，C₁與C₂相交于直線上一點(diǎn)P.

（1）求橢圓C及拋物線C₁，C₂的方程；

（2）若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N，已知點(diǎn)，求的最小值.

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（本小題滿分14分）
設(shè)函數(shù)，其中．
( I )若函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)P，且點(diǎn)P在的圖象上，求m的值；
(Ⅱ)當(dāng)時，設(shè)，討論的單調(diào)性；
(Ⅲ)在(I)的條件下，設(shè)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P、Q，
使△OPQ(O為原點(diǎn))是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且該三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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（本小題滿分14分）

已知圓O:交軸于A，B兩點(diǎn),曲線C是以為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連結(jié)PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線X＝-2于點(diǎn)Q.

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓相切；

(Ⅲ)試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明；若不是,請說明理由.

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一．選擇題：DBBCB BCCCC

解析：1：因?yàn)?sub>=(2 -││)+ ,由選擇支知││<2,所以的實(shí)部為正數(shù),虛部為1,根據(jù)這個隱含條件,(A),(B),(C)均可篩去,所以選(D).

2：先將周期最小的選項(xiàng)（A）的周期T=代入檢驗(yàn)，不成立則排除(A)；再檢驗(yàn)（B）成立. 所以選(B).

3：∵∴可取代入四個選項(xiàng)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)B錯誤，∴應(yīng)選(B).

4：“的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128” Þ 2ⁿ=128 Þ n=7；

由通項(xiàng)公式T_r+1==，

令7－=－3，解得r=6，此時T₇= ，故選C

5:作兩直線的圖象,從圖中可以看出:

直線的傾斜角的取值范圍應(yīng)選(B).

6：取特殊數(shù)列=，排除(A)、(C)、(D). ∴選(B).

7：如圖所示,

作

∴柱體體積

故選C.

8:由圖象可知,x=1時=1. 由此可排除(A)、(D)；再由周期T=8，可排除(B).

∴應(yīng)選(C).

9：利用橢圓的定義可得故離心率故選C。

10：設(shè)某人當(dāng)月工資為1200元或1500元，則其應(yīng)納稅款分別為：4005%=20元，5005%+20010%=45元，可排除、、.故選.

二．填空題：11、2； 12、a>0且；13、；14、；15、7；

解析：11：因?yàn)榘?sub>任意一個元素的三元素集合共個，所以在中，每個元素都出現(xiàn)了次，所以

，所以

。

12：由已知可畫出下圖，符合題設(shè)，故a>0且。

13：設(shè)P(x，y)，則當(dāng)時，點(diǎn)P的軌跡為，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)。

又當(dāng)P在x軸上時，，點(diǎn)P在y軸上時，為鈍角，由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是：；

14．解：在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和分別表示圓和直線，易知＝

15．解：由圓的性質(zhì)PA=PC?PB，得，PB=12，連接OA并反向延長

交圓于點(diǎn)E，在直角三角形APD中可以求得PD=4,DA=2,故CD=3,

DB=8,J記圓的半徑為R,由于ED?DA=CD?DB

因此，(２R－２) ?2=3?8,解得R=7

三．解答題：

16.解：（Ⅰ）∵ ∴----①,----②

由①得------③

在△ABC中,由正弦定理得=,設(shè)＝

則,代入③得

∵ ∴ ∴,∵ ∴ ……………………6分

(Ⅱ) ∵,由余弦定理得,--④

由②得-⑤ 由④⑤得，∴=. ……………………………12分

17.解：設(shè)該觀眾先答A題所獲獎金為元，先答B(yǎng)題所獲獎金為元，………………………1分

依題意可得可能取的值為：0, ，3，的可能取值為：0，2，3

………………………2分

∵ ，，，

∴ ， ………………………6分

∵ ，，

∴ ………………………10分

∵∴，即

∴該觀眾應(yīng)先回答B(yǎng)題所獲獎金的期望較大． ……………………………12分

18.解：（Ⅰ）設(shè),由得，解得或，若則與矛盾，所以不合舍去。

即。---------------------------------------------------------------------------6

（Ⅱ）圓即，其圓心為C（3，－1），半徑，

∴直線OB的方程為，-----------------------------------------------------------------10

設(shè)圓心C（3，－1）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則

解得：，則所求的圓的方程為。-----------------------------14

19.(Ⅰ)證明：∵對任意的 ①

令得 ②…………1分

令得……………………2分

∴ 由②得

∴函數(shù)為奇函數(shù)………………………………3分

(Ⅱ)證明:（1）當(dāng)n＝1時等式顯然成立

（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k）時等式成立，即，…………4分

則當(dāng)n＝k＋1時有

，由①得………………6分

∵ ∴

∴當(dāng)n＝k＋1時，等式成立。

綜（1）、（2）知對任意的,成立。………………8分

(Ⅲ)解:設(shè)，因函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合①得

＝，……………………9分

∵

又∵當(dāng)時，

∴，∴

∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減…………………………………………12分

∴

由（2）的結(jié)論得，

∵，∴＝－2n

∵函數(shù)為奇函數(shù)，∴

∴ ，＝2n�！�14分

20.解：(1)如圖，將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)B₂的位置，連接A₁B₂，則A₁B₂就是由點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到點(diǎn)A₁的最短路線。 ……………………………………1分