（2）某實(shí)驗(yàn)小組在進(jìn)行“驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律”的實(shí)驗(yàn)。入射球與被碰球半徑相同。

① 實(shí)驗(yàn)裝置如下圖所示。先不放B球，使A球從斜槽上某一固定點(diǎn)C由靜止?jié)L下，落到位于水平地面的記錄紙上留下痕跡。再把B球靜置于水平槽前端邊緣處，讓A球仍從 C處由靜止?jié)L下，A球和B球碰撞后分別落在記錄紙上留下各自落點(diǎn)的痕跡。記錄紙上的O點(diǎn)是重錘所指的位置，M、P、N分別為落點(diǎn)的痕跡。未放B球時(shí)，A球落地點(diǎn)是記錄紙上的         點(diǎn)。

② 釋放多次后，取各落點(diǎn)位置的平均值，測得各落點(diǎn)痕跡到O點(diǎn)的距離：OM=13.10cm，

OP=21.90cm，ON=26.04cm。用天平稱得入射小球A的質(zhì)量m₁=16.8g，被碰小球B的

質(zhì)量m₂ = 5.6 g。若將小球質(zhì)量與水平位移的乘積作為“動(dòng)量”，請將下面的數(shù)據(jù)處理

表格填寫完整。

根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)處理數(shù)據(jù)，你認(rèn)為能得到的結(jié)論是：                      。

③ 實(shí)驗(yàn)中可以將表達(dá)式m₁ v₁ = m₁ v₁′+ m₂ v₂′轉(zhuǎn)化為m₁ s₁ = m₁ s₁′+ m₂ s₂′來進(jìn)行驗(yàn)證，其中s₁、s₁′、s₂′為小球平拋的水平位移。可以進(jìn)行這種轉(zhuǎn)化的依據(jù)是         。

   （請選擇一個(gè)最合適的答案）

A．小球飛出后的加速度相同

B．小球飛出后，水平方向的速度相同

C．小球在空中水平方向都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平位移與時(shí)間成正比

D．小球在空中水平方向都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)閺耐�一高度平拋，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，所以水平位移與初速度成正比

④ 完成實(shí)驗(yàn)后，實(shí)驗(yàn)小組對上述裝置進(jìn)行了如下圖所示的改變：（I）在木板表面先后釘上白紙和復(fù)寫紙，并將木板豎直立于靠近槽口處，使小球A從斜槽軌道上某固定點(diǎn)C由靜止釋放，撞到木板并在白紙上留下痕跡O；（II）將木板向右平移適當(dāng)?shù)木嚯x固定，再使小球A從原固定點(diǎn)C由靜止釋放，撞到木板上得到痕跡P；（III）把半徑相同的小球B 靜止放在斜槽軌道水平段的最右端，讓小球A仍從原固定點(diǎn)由靜止開始滾下， 與小球B 相碰后，兩球撞在木板上得到痕跡 M和 N；（IV）用刻度尺測量紙上O點(diǎn)到M、P、N 三點(diǎn)的距離分別為y₁、y₂、y₃。請你寫出用直接測量的物理量來驗(yàn)證兩球碰撞過程中動(dòng)量守恒的表達(dá)式：            。（小球A、B的質(zhì)量分別為m₁、m₂）

第三部分 運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一講　基本知識(shí)介紹

一． 基本概念

1．  質(zhì)點(diǎn)

2．  參照物

3．  參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)）

4．絕對運(yùn)動(dòng)，相對運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：v_絕=v_相+v_牽 

二．運(yùn)動(dòng)的描述

1．位置：r=r(t) 

2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)

3．速度：v=lim_Δt→0Δr/Δt.在大學(xué)教材中表述為：v=dr/dt, 表示r對t 求導(dǎo)數(shù)

5．以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本物理量，也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)�？墒�

三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。（a對t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度”。）

6．由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好

三．等加速運(yùn)動(dòng)

v(t)=v₀+at           r(t)=r₀+v₀t+1/2 at² 

 一道經(jīng)典的物理問題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度v₀沿各種角度發(fā)射，問：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)，不會(huì)有危險(xiǎn)？（注：結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞�，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v²/2g處，以v₀平拋物體的軌跡。） 

練習(xí)題：

一盞燈掛在離地板高l₂,天花板下面l₁處。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑（認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。）

四．剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1． 我們講過的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng) 

  2．  角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

 3．  有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量

4．  同一剛體上兩點(diǎn)的相對速度和相對加速度 

兩點(diǎn)的相對距離不變，相對運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，V_A=V_B+V_AB,在AB連線上

投影：[V_A]_AB=[V_B]_AB,a_A=a_B+a_AB,a_AB=_,aⁿ_AB+_,a^τ_AB, _,a^τ_AB垂直于AB,_,aⁿ_AB=V_AB²/AB 

例：A，B，C三質(zhì)點(diǎn)速度分別V_A ，V_B  ，V_C      

求G的速度。

五．課后習(xí)題：

一只木筏離開河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。經(jīng)過時(shí)間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時(shí)刻木筏在航線上的確切位置。

五、處理問題的一般方法

（1）用微元法求解相關(guān)速度問題

例1：如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過B、D，BC段水平，當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求當(dāng)跨過B的兩段繩子的夾角為α?xí)r，A的運(yùn)動(dòng)速度。

（v_A＝）

（2）拋體運(yùn)動(dòng)問題的一般處理方法

1. 平拋運(yùn)動(dòng)
2. 斜拋運(yùn)動(dòng)
3. 常見的處理方法

（1）將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題

（3）將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，用矢量合成法則求解

例2：在擲鉛球時(shí)，鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，若出手時(shí)的速度為V₀，求以何角度擲球時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)射程為多少？

（α=、 x=）

第二講 運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對運(yùn)動(dòng)

（一）知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥

1. 力的獨(dú)立性原理：各分力作用互不影響，單獨(dú)起作用。
2. 運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理：分運(yùn)動(dòng)之間互不影響，彼此之間滿足自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律
3. 力的合成分解：遵循平行四邊形定則，方法有正交分解，解直角三角形等
4. 運(yùn)動(dòng)的合成分解：矢量合成分解的規(guī)律方法適用
1. 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

參考系的轉(zhuǎn)換：動(dòng)參考系，靜參考系

相對運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)

絕對運(yùn)動(dòng)：動(dòng)點(diǎn)相對于靜參考系統(tǒng)（通常指固定于地面的參考系）的運(yùn)動(dòng)

牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)參考系相對于靜參考系的運(yùn)動(dòng)

（5）位移合成定理：S_A對地=S_A對B+S_B對地

速度合成定理：V_絕對=V_相對+V_牽連

加速度合成定理：a_絕對=a_相對+a_牽連

（二）典型例題

（1）火車在雨中以30m/s的速度向南行駛，雨滴被風(fēng)吹向南方，在地球上靜止的觀察者測得雨滴的徑跡與豎直方向成21^。角，而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對于地的運(yùn)動(dòng)。

提示：矢量關(guān)系入圖

答案：83.7m/s

（2）某人手拿一只停表，上了一次固定樓梯，又以不同方式上了兩趟自動(dòng)扶梯，為什么他可以根據(jù)測得的數(shù)據(jù)來計(jì)算自動(dòng)扶梯的臺(tái)階數(shù)？

提示：V人對梯=n1/t1

      V梯對地=n/t2

      V人對地=n/t3

V人對地= V人對梯+ V梯對地

答案：n=t₂t₃n₁/（t₂-t₃）t₁

(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡，如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行，則經(jīng)10min后到達(dá)正對岸下游120m的C處，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成а角的方向航行，則經(jīng)過12.5min恰好到達(dá)正對岸的B處，求河的寬度。

提示：120=V水*600

        D=V船*600

 答案：200m

（4）一船在河的正中航行，河寬l=100m，流速u=5m/s，并在距船s=150m的下游形成瀑布，為了使小船靠岸時(shí)，不至于被沖進(jìn)瀑布中，船對水的最小速度為多少？

提示：如圖船航行

答案：1.58m/s

（三）同步練習(xí)

1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β₁=30°，另一次安裝成傾角為β₂=15°。問汽車兩次速度之比為多少時(shí)，司機(jī)都是看見冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開？（冰雹相對地面是豎直下落的）

2、模型飛機(jī)以相對空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長2km的等邊三角形飛行，設(shè)風(fēng)速u = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同，試求：飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間？

3.圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長幅氣霧拖尾的照片（俯視）。兩列車沿直軌道分別以速度v₁=50km/h和v₂=70km/h行駛，行駛方向如箭頭所示，求風(fēng)速。

4、細(xì)桿AB長L ，兩端分別約束在x 、 y軸上運(yùn)動(dòng)，（1）試求桿上與A點(diǎn)相距aL（0＜ a ＜1)的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡；（2）如果v_A為已知，試求P點(diǎn)的x 、 y向分速度v_Px和v_Py對桿方位角θ的函數(shù)。

（四）同步練習(xí)提示與答案

1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案為：3。

2、提示：三角形各邊的方向?yàn)轱w機(jī)合速度的方向（而非機(jī)頭的指向）；

第二段和第三段大小相同。

參見右圖，顯然：

v² =  + u² － 2v_合ucos120°

可解出 v_合 = 24km/h 。

答案：0.2hour（或12min.）。

3、提示：方法與練習(xí)一類似。答案為：3

4、提示：（1）寫成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。

（2）解法有講究：以A端為參照， 則桿上各點(diǎn)只繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。但鑒于桿子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖，應(yīng)有v_牽 = v_Acosθ，v_轉(zhuǎn) = v_A，可知B端相對A的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為：v_轉(zhuǎn) + v_Asinθ=  。

P點(diǎn)的線速度必為  = v_相 

所以 v_Px = v_相cosθ+ v_Ax ，v_Py = v_Ay － v_相sinθ

答案：（1） +  = 1 ，為橢圓；（2）v_Px = av_Actgθ ，v_Py =（1 － a）v_A

 【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若三題都做，則按A、B兩題評分．

A．(選修模塊3—3)（12分）

（1）在研究性學(xué)習(xí)的過程中，針對能源問題，大氣污染問題同學(xué)們提出了如下四個(gè)活動(dòng)方案，哪些從理論上講是可行的

（A）發(fā)明一種制冷設(shè)備，使溫度降至絕對零度以下

（B）汽車尾氣中各類有害氣體排入大氣后嚴(yán)重污染了空氣，想辦法使它們自發(fā)地分離，既清潔了空氣，又變廢為寶

（C）某國際科研小組正在研制利用超導(dǎo)材料制成燈泡的燈絲和閉合電路．利用電磁感應(yīng)激起電流后，由于電路電阻為零從而使燈泡一直發(fā)光

（D）由于太陽的照射，海洋表面的溫度可達(dá)30℃左右，而海洋深處的溫度要低得多，在水600～1000m的地方，水溫約為4℃．據(jù)此，科學(xué)家研制了一種抗腐蝕的熱交換器，利用海水溫差發(fā)電

（2）秋天附著在樹葉上的露水常呈球形，.這是因?yàn)開___▲____．水銀放在某一固體容器中，其液面向下彎，說明水銀__▲___這種固體（填“浸潤”或“ 不浸潤”）．

（3）如圖所示，在豎直放置絕熱圓柱形容器內(nèi)用質(zhì)量為m的絕熱活塞密封一部分氣體，活塞與容器壁間能無摩擦滑動(dòng)，容器的橫截面積為S，開始時(shí)密閉氣體的溫度為T₀，活塞與容器底的距離為h₀．現(xiàn)將整個(gè)裝置放在大氣壓恒為P₀的空氣中，當(dāng)氣體從外界吸收熱量Q后，活塞緩慢上升d后再次平衡，問：

①此時(shí)密閉氣體的溫度是多少？

②在此過程中密閉氣體的內(nèi)能增加了多少？

B．(選修模塊3—4)（12分）

（1）下列說法中正確的有    ▲   ．

（A）2010年4月14日早晨7時(shí)49分，青海省玉樹藏族自治州玉樹縣發(fā)生7.1級地震，造成重大人員財(cái)產(chǎn)損失，地震波是機(jī)械波，地震波中既有橫波也有縱波

（B）太陽能真空玻璃管采用鍍膜技術(shù)增加透射光，這是利用了光的衍射原理

（C）相對論認(rèn)為：真空中的光速在不同慣性參照系中是不相同的

（D）醫(yī)院里用于檢測的“彩超”的原理是：向病人體內(nèi)發(fā)射超聲波，經(jīng)血  

液反射后被接收，測出反射波的頻率變化，就可知血液的流速．這 

一技術(shù)應(yīng)用了多普勒效應(yīng)

（2）如圖所示為一列簡諧波在t₁=0時(shí)刻的圖象，此時(shí)波中質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方   

向沿y軸負(fù)方向，且到t₂=0.55s質(zhì)點(diǎn)M恰好第3次到達(dá)y軸正方向最大 

位移處，該波的傳播方向?yàn)開_▲___，波速為___▲____m／s．

（3）如圖所示是一種折射率n=1.5的棱鏡．現(xiàn)有一束光 線沿MN的方向射  

到棱鏡的AB界面上，入射角的大小．求光在棱鏡中傳

播的速率及此束光線射出棱鏡后的方向（不考慮返回到AB面上的光線）．

C．(選修模塊3—5)（12分）

（1）下列說法中正確的有___▲____．

（A）黑體輻射時(shí)電磁波的強(qiáng)度按波長的分布只與黑體的溫度有關(guān)

（B）普朗克為了解釋光電效應(yīng)的規(guī)律，提出了光子說

（C）天然放射現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)揭示原子核有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)

（D）盧瑟福首先發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子和中子

（2）如圖所示是使用光電管的原理圖．當(dāng)頻率為v的可見光照射到陰極K上時(shí)，  

電流表中有電流通過．

  ①當(dāng)變阻器的滑動(dòng)端P向    ▲    滑動(dòng)時(shí)（填“左”或“右”），通過電流表的電流將會(huì)減小．

  ②當(dāng)電流表電流剛減小到零時(shí)，電壓表的讀數(shù)為U，則光電子的最大初動(dòng)能為

       ▲    （已知電子電荷量為e）．

  ③如果不改變?nèi)肷涔獾念l率，而增加入射光的強(qiáng)度，則光電子的最大初動(dòng)能將__▲___

（填“增加”、“減小”或“不變”）．

（3）一炮彈質(zhì)量為m，以一定的傾角斜向上發(fā)射，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為v，炮彈在最高點(diǎn)爆炸成兩塊，

其中一塊恰好做自由落體運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為．則另一塊爆炸后瞬時(shí)的速度大小__▲__。

 【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩題，并在答題卡相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若三題都做，則按A、B兩題評分．

A．(選修模塊3—3)（12分）

（1）在研究性學(xué)習(xí)的過程中，針對能源問題，大氣污染問題同學(xué)們提出了如下四個(gè)活動(dòng)方案，哪些從理論上講是可行的

（A）發(fā)明一種制冷設(shè)備，使溫度降至絕對零度以下

（B）汽車尾氣中各類有害氣體排入大氣后嚴(yán)重污染了空氣，想辦法使它們自發(fā)地分離，既清潔了空氣，又變廢為寶

（C）某國際科研小組正在研制利用超導(dǎo)材料制成燈泡的燈絲和閉合電路．利用電磁感應(yīng)激起電流后，由于電路電阻為零從而使燈泡一直發(fā)光

（D）由于太陽的照射，海洋表面的溫度可達(dá)30℃左右，而海洋深處的溫度要低得多，在水600～1000m的地方，水溫約為4℃．據(jù)此，科學(xué)家研制了一種抗腐蝕的熱交換器，利用海水溫差發(fā)電

（2）秋天附著在樹葉上的露水常呈球形，.這是因?yàn)開___▲____．水銀放在某一固體容器中，其液面向下彎，說明水銀__▲___這種固體（填“浸潤”或“ 不浸潤”）．

（3）如圖所示，在豎直放置絕熱圓柱形容器內(nèi)用質(zhì)量為m的絕熱活塞密封一部分氣體，活塞與容器壁間能無摩擦滑動(dòng)，容器的橫截面積為S，開始時(shí)密閉氣體的溫度為T₀，活塞與容器底的距離為h₀．現(xiàn)將整個(gè)裝置放在大氣壓恒為P₀的空氣中，當(dāng)氣體從外界吸收熱量Q后，活塞緩慢上升d后再次平衡，問：

①此時(shí)密閉氣體的溫度是多少？

②在此過程中密閉氣體的內(nèi)能增加了多少？

B．(選修模塊3—4)（12分）

（1）下列說法中正確的有    ▲   ．

（A）2010年4月14日早晨7時(shí)49分，青海省玉樹藏族自治州玉樹縣發(fā)生7.1級地震，造成重大人員財(cái)產(chǎn)損失，地震波是機(jī)械波，地震波中既有橫波也有縱波

（B）太陽能真空玻璃管采用鍍膜技術(shù)增加透射光，這是利用了光的衍射原理

（C）相對論認(rèn)為：真空中的光速在不同慣性參照系中是不相同的

（D）醫(yī)院里用于檢測的“彩超”的原理是：向病人體內(nèi)發(fā)射超聲波，經(jīng)血  

液反射后被接收，測出反射波的頻率變化，就可知血液的流速．這 

一技術(shù)應(yīng)用了多普勒效應(yīng)

（2）如圖所示為一列簡諧波在t₁=0時(shí)刻的圖象，此時(shí)波中質(zhì)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方   

向沿y軸負(fù)方向，且到t₂=0.55s質(zhì)點(diǎn)M恰好第3次到達(dá)y軸正方向最大 

位移處，該波的傳播方向?yàn)開_▲___，波速為___▲____m／s．

（3）如圖所示是一種折射率n=1.5的棱鏡．現(xiàn)有一束光 線沿MN的方向射  

到棱鏡的AB界面上，入射角的大小．求光在棱鏡中傳

播的速率及此束光線射出棱鏡后的方向（不考慮返回到AB面上的光線）．

C．(選修模塊3—5)（12分）

（1）下列說法中正確的有___▲____．

（A）黑體輻射時(shí)電磁波的強(qiáng)度按波長的分布只與黑體的溫度有關(guān)

（B）普朗克為了解釋光電效應(yīng)的規(guī)律，提出了光子說

（C）天然放射現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)揭示原子核有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)

（D）盧瑟福首先發(fā)現(xiàn)了質(zhì)子和中子

（2）如圖所示是使用光電管的原理圖．當(dāng)頻率為v的可見光照射到陰極K上時(shí)，  

電流表中有電流通過．

  ①當(dāng)變阻器的滑動(dòng)端P向    ▲    滑動(dòng)時(shí)（填“左”或“右”），通過電流表的電流將會(huì)減小．

  ②當(dāng)電流表電流剛減小到零時(shí)，電壓表的讀數(shù)為U，則光電子的最大初動(dòng)能為

        ▲    （已知電子電荷量為e）．

  ③如果不改變?nèi)肷涔獾念l率，而增加入射光的強(qiáng)度，則光電子的最大初動(dòng)能將__▲___

（填“增加”、“減小”或“不變”）．

（3）一炮彈質(zhì)量為m，以一定的傾角斜向上發(fā)射，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為v，炮彈在最高點(diǎn)爆炸成兩塊，

其中一塊恰好做自由落體運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為．則另一塊爆炸后瞬時(shí)的速度大小__▲__。

第一部分  力＆物體的平衡

第一講 力的處理

一、矢量的運(yùn)算

1、加法

表達(dá)： +  =  。

名詞：為“和矢量”。

法則：平行四邊形法則。如圖1所示。

和矢量大小：c =  ，其中α為和的夾角。

和矢量方向：在、之間，和夾角β= arcsin

2、減法

表達(dá)： = － 。

名詞：為“被減數(shù)矢量”，為“減數(shù)矢量”，為“差矢量”。

法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn)，然后連接兩時(shí)量末端，指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量，即是差矢量。

差矢量大�。篴 =  ，其中θ為和的夾角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。

例題：已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為R ，周期為T ，求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。

解說：如圖3所示，A到B點(diǎn)對應(yīng)T的過程，A到C點(diǎn)對應(yīng)T的過程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。

根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 

由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 = － ，= － ，根據(jù)三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線）。

本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然：

 =  =  =  ，且： = =  ， = 2= 

所以：=  =  =  ，=  =  =  。

（學(xué)生活動(dòng)）觀察與思考：這兩個(gè)加速度是否相等，勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)？

答：否；不是。

3、乘法

矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。

⑴ 叉乘

表達(dá)：× = 

名詞：稱“矢量的叉積”，它是一個(gè)新的矢量。

叉積的大小：c = absinα，其中α為和的夾角。意義：的大小對應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。

叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。

顯然，×≠×，但有：×= －×

⑵ 點(diǎn)乘

表達(dá)：· = c

名詞：c稱“矢量的點(diǎn)積”，它不再是一個(gè)矢量，而是一個(gè)標(biāo)量。

點(diǎn)積的大�。篶 = abcosα，其中α為和的夾角。

二、共點(diǎn)力的合成

1、平行四邊形法則與矢量表達(dá)式

2、一般平行四邊形的合力與分力的求法

余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

正弦定理解方向

三、力的分解

1、按效果分解

2、按需要——正交分解

第二講 物體的平衡

一、共點(diǎn)力平衡

1、特征：質(zhì)心無加速度。

2、條件：Σ = 0 ，或  = 0 ， = 0

例題：如圖5所示，長為L 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。

解說：直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題，幾何關(guān)系比較簡單。

答案：距棒的左端L/4處。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：放在斜面上的均質(zhì)長方體，按實(shí)際情況分析受力，斜面的支持力會(huì)通過長方體的重心嗎？

解：將各處的支持力歸納成一個(gè)N ，則長方體受三個(gè)力（G 、f 、N）必共點(diǎn)，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)，N就過重心了）。

答：不會(huì)。

二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡

1、特征：物體無轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。

2、條件：Σ= 0 ，或ΣM₊ =ΣM_- 

如果物體靜止，肯定會(huì)同時(shí)滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。

3、非共點(diǎn)力的合成

大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。

作用點(diǎn)：先假定一個(gè)等效作用點(diǎn)，然后讓所有的平行力對這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。

第三講 習(xí)題課

1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體，試求：β取何值時(shí)，夾板對球的彈力最小。

解說：法一，平行四邊形動(dòng)態(tài)處理。

對球體進(jìn)行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N₁進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖8的左圖和中圖所示。

由于G的大小和方向均不變，而N₁的方向不可變，當(dāng)β增大導(dǎo)致N₂的方向改變時(shí)，N₂的變化和N₁的方向變化如圖8的右圖所示。

顯然，隨著β增大，N₁單調(diào)減小，而N₂的大小先減小后增大，當(dāng)N₂垂直N₁時(shí)，N₂取極小值，且N_2min = Gsinα。

法二，函數(shù)法。

看圖8的中間圖，對這個(gè)三角形用正弦定理，有：

 =  ，即：N₂ =  ，β在0到180°之間取值，N₂的極值討論是很容易的。

答案：當(dāng)β= 90°時(shí)，甲板的彈力最小。

2、把一個(gè)重為G的物體用一個(gè)水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個(gè)？

解說：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問題和準(zhǔn)靜態(tài)過程的問題，但本題是一個(gè)例外。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時(shí)的難點(diǎn)。

靜力學(xué)的知識(shí)，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。

水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。

物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力f = μN(yùn) ，必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒有關(guān)系。

對運(yùn)動(dòng)過程加以分析，物體必有加速和減速兩個(gè)過程。據(jù)物理常識(shí)，加速時(shí)，f ＜ G ，而在減速時(shí)f ＞ G 。

答案：B 。

3、如圖11所示，一個(gè)重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ，自由長度為L（L＜2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn)A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的B點(diǎn)。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。

解說：平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。

分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環(huán)的支持力。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

                                   ⑴

由胡克定律：F = k（- R）                ⑵

幾何關(guān)系：= 2Rcosθ                     ⑶

解以上三式即可。

答案：arccos 。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？

答：變��；不變。

（學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？

解：和上題完全相同。

答：T變小，N不變。

4、如圖14所示，一個(gè)半徑為R的非均質(zhì)圓球，其重心不在球心O點(diǎn)，先將它置于水平地面上，平衡時(shí)球面上的A點(diǎn)和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時(shí)球面上的B點(diǎn)與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。

解說：練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。

根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn)，可以畫出重心的具體位置。幾何計(jì)算比較簡單。

答案：R 。

（學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？

解：三力共點(diǎn)知識(shí)應(yīng)用。

答： 。

4、兩根等長的細(xì)線，一端拴在同一懸點(diǎn)O上，另一端各系一個(gè)小球，兩球的質(zhì)量分別為m₁和m₂ ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m₁ : m₂??為多少？

解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問題。

對兩球進(jìn)行受力分析，并進(jìn)行矢量平移，如圖16所示。

首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設(shè)為α。

而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設(shè)為F 。

對左邊的矢量三角形用正弦定理，有：

 =          ①

同理，對右邊的矢量三角形，有： =                                ②

解①②兩式即可。

答案：1 ： 。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：解本題是否還有其它的方法？

答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。

應(yīng)用：若原題中繩長不等，而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 ，其它條件不變，m₁與m₂的比值又將是多少？

解：此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一個(gè)正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。

答：2 ：3 。

5、如圖17所示，一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時(shí)，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？

解說：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。

以球和桿為對象，研究其對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：

f R + N（R + L）= G（R + L）           ①

球和板已相對滑動(dòng)，故：f = μN(yùn)        ②

解①②可得：f = 

再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。

同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦f′=  = F′。

答案： 。

第四講 摩擦角及其它

一、摩擦角

1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。

2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φ_m表示。

此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動(dòng)，必有：φ_m = arctgμ（μ為動(dòng)摩擦因素），稱動(dòng)摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢，必有：φ_ms = arctgμ_s（μ_s為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φ_m = φ_ms 。

3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時(shí)更方便、更簡捷。

二、隔離法與整體法

1、隔離法：當(dāng)物體對象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，有必要各個(gè)擊破，逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開來分析處理，稱隔離法。

在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。

2、整體法：當(dāng)各個(gè)體均處于平衡狀態(tài)時(shí)，我們可以不顧個(gè)體的差異而講多個(gè)對象看成一個(gè)整體進(jìn)行分析處理，稱整體法。

應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。

三、應(yīng)用

1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進(jìn)，求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素μ。

解說：這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。可以通過不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。

法一，正交分解。（學(xué)生分析受力→列方程→得結(jié)果。）

法二，用摩擦角解題。

引進(jìn)全反力R ，對物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φ_m指摩擦角。

再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φ_m = 15°。

最后，μ= tgφ_m 。

答案：0.268 。

（學(xué)生活動(dòng)）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F值是多少？

解：見圖18，右圖中虛線的長度即F_min ，所以，F(xiàn)_min = Gsinφ_m 。

答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。

2、如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s² ，求地面對斜面體的摩擦力大小。

解說：

本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。

法一，隔離法。簡要介紹……

法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運(yùn)動(dòng)，但從平衡的角度看，它們是完全等價(jià)的，可以看成一個(gè)整體。

做整體的受力分析時(shí)，內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。

答案：26.0N 。

（學(xué)生活動(dòng)）地面給斜面體的支持力是多少？

解：略。

答：135N 。

應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動(dòng)，就必須施加一個(gè)大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個(gè)F的大小和方向。

解說：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動(dòng)用一切可能的工具解題。

法一：隔離法。

由第一個(gè)物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ

對第二個(gè)物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個(gè)字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。

對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——

F_x = f + mgsinθ

F_y + mgcosθ= N

且 f = μN(yùn) = Ntgθ

綜合以上三式得到：

F_x = F_ytgθ+ 2mgsinθ               ①

對斜面體，只看水平方向平衡就行了——

P = fcosθ+ Nsinθ

即：4mgsinθcosθ=μN(yùn)cosθ+ Nsinθ

代入μ值，化簡得：F_y = mgcosθ      ②

②代入①可得：F_x = 3mgsinθ

最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（設(shè)α為F和斜面的夾角）。

答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。

法二：引入摩擦角和整體法觀念。

仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置（見圖21中的α角）。

先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P                                   ⑴

再隔離滑塊，分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個(gè)力（R、mg和F），可以將矢量平移后構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖22所示。

在圖22右邊的矢量三角形中，有： = =      ⑵

注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ                                              ⑶

解⑴⑵⑶式可得F和α的值。