已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

1

anan+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設(shè)bn=

1

an

，Sn表示數(shù)列{b_n}的前n項和．試問：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）•g（n）對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由．

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N*）在直線x-y+1=0上。
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若函數(shù)（n∈N，且n≥2），求函數(shù)f（n）的最小值；
（3）設(shè)b_n=，S_n表示數(shù)列{b_n}的前n項和。試問：是否存在關(guān)于n的整式g（n），使得S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=（S_n-1）·g（n）對于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？ 若存在，寫出g（n）的解析式，并加以證明；若不存在，試說明理由。