在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）設(shè)E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，若直線EF∥平面PAD，求AF的長；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

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（2012•威海二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F（0，p）（p＞0），直線l：y=-p，點(diǎn)p在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點(diǎn)，過R、P分別作直線l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l l₁∩l₂=Q．
（Ⅰ）求動點(diǎn)Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點(diǎn)M做曲線C的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為A、B，求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當(dāng)直線MA，MF，MB的斜率存在時，直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．

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一、選擇題（每小題5分，共計60分）

ABADD  CACAC  AB

二、填空題（每小題4分，共計16分）

（13）4；（14）；（15）；（16）①④.

三、解答題：

17.解：（本小題滿分12分）

(Ⅰ) 由題意

    由題意，函數(shù)周期為3，又＞0，；

   (Ⅱ) 由(Ⅰ)知

又x，的減區(qū)間是.

(18) （本小題滿分12分）

解：（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為

所以隨機(jī)變量的分布列為

0

1

2

3

4

5

   （2）∵隨機(jī)變量

        ∴

19. （本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵   底面ABCD是正方形，

∴AB⊥BC,

又平面PBC⊥底面ABCD  

平面PBC ∩  平面ABCD=BC

∴AB  ⊥平面PBC

又PC平面PBC

∴AB  ⊥CP  ………………3分

（Ⅱ）解法一：體積法.由題意，面面，

取中點(diǎn)，則

面.

再取中點(diǎn)，則   ………………5分

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由

.                   ………………7分

解法二：面

取中點(diǎn)，再取中點(diǎn)

，

過點(diǎn)作，則

在中，

由

∴點(diǎn)到平面的距離為。  ………………7分

解法三：向量法（略）

（Ⅲ）

面

就是二面角的平面角.

∴二面角的大小為45°.   ………………12分

方法二：向量法（略）.

（20）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）方法一：∵，

∴．           

設(shè)直線, 

并設(shè)l與g(x)=x²相切于點(diǎn)M()

∵  ∴2

∴

代入直線l方程解得p=1或p=3.

方法二：  

將直線方程l代入 得

∴

解得p=1或p=3 .                                      

（Ⅱ）∵，                                

①要使為單調(diào)增函數(shù)，須在恒成立，

即在恒成立，即在恒成立，

又，所以當(dāng)時，在為單調(diào)增函數(shù)；   …………6分

②要使為單調(diào)減函數(shù)，須在恒成立，

即在恒成立，即在恒成立，

又，所以當(dāng)時，在為單調(diào)減函數(shù)．                

綜上，若在為單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍為或．………8分

(21) （本小題滿分12分）

（1）∵直線的方向向量為

∴直線的斜率為，又∵直線過點(diǎn)

∴直線的方程為

∵，∴橢圓的焦點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)

∴橢圓的焦點(diǎn)為

∴，又∵

∴ ，∴

∴橢圓方程為  

（2）設(shè)直線MN的方程為

由，得

設(shè)坐標(biāo)分別為

則   (1)    (2)        

＞0

∴,

∵，顯然，且

∴

∴

代入(1) (2)，得

∵,得

，即

解得且.

 (22) （本小題滿分14分）

(1)  解：過的直線方程為

聯(lián)立方程消去得

∴

即

（2）

∴是等比數(shù)列

  ，;

（III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立，

即（－1）ⁿλ＞-（）^n－1恒成立．

?。當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ<（）^n－1恒成立．

又（）^n－1的最小值為1．∴λ<1．                                                              10分

?。當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ>－（）^n-1恒成立，

又－（）^n－1的最大值為－，∴λ>－．                                                 11分

即－<λ<1，又λ≠0，λ為整數(shù)，

∴λ＝－1，使得對任意n∈N*,都有_．