(Ⅱ)已知圓,直線.試證明:當點在橢圓上運動時.直線與圓恒相交.并求直線被圓所截得弦長的取值范圍. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線C′：
x2
a2
-
y2
b2
=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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已知點E、F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點P，且它們的斜率之積為-
1
4
．
（1）求證：點P的軌跡在一個橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過原點O的直線AB交（1）中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為(1，
1
2
)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率kAB；
（3）反思（2）題的解答，當△MAB的面積取得最大值時，探索（2）題的結(jié)論中直線AB的斜率kAB和OM所在直線的斜率kOM之間的關(guān)系．由此推廣到點M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結(jié)論成為推廣后的一個特例），試提出一個猜想或設(shè)計一個問題，嘗試研究解決．
[說明：本小題將根據(jù)你所提出的猜想或問題的質(zhì)量分層評分]．

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已知直線過橢圓的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓的上頂點，且直線交橢圓于、兩點，點、F、 在直線上的射影依次為點、、.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交y軸于點，且，當變化時，探求 的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

（3）連接、，試探索當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

 

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已知直線：x=my+1過橢圓C：的右焦點F，拋物線：的焦點為橢圓C的上頂點，且直線交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x=4上的射影依次為點D、K、E。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線交y軸于點M，且，當m變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，說明理由；
（3）連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由。

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已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試對雙曲線C′：-=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．

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    2009.3

一、選擇題

（1）B  （2）A  （3）B （4）C （5）B （6）D

（7）D   （8）C  （9）C （10）B （11）A （12）C

二、填空題

        1,3,5

        三、解答題

        （17）解:（Ⅰ）-             ---------------------------2分

        高三年級人數(shù)為-------------------------3分

        現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在高三年級抽取的人數(shù)為

        (人).                       --------------------------------------6分

        （Ⅱ）設(shè)“高三年級女生比男生多”為事件，高三年級女生、男生數(shù)記為.

        由（Ⅰ）知且

        則基本事件空間包含的基本事件有

        共11個,     ------------------------------9分

        事件包含的基本事件有

        共5個   

                        --------------------------------------------------------------11分

        答：高三年級女生比男生多的概率為.  …………………………………………12分

        （18）解：（Ⅰ）  …………2分

        在中，由于，

                                                …………3分

        又，

                               

        又，所以，而，因此.…………6分

           （Ⅱ）由，

        由正弦定理得                                …………8分

        ，

        即，由（Ⅰ）知，所以    …………10分

        由余弦弦定理得 ，     …………11分

        ，

                                                       …………12分

        （19）（Ⅰ）證明：∵、分別為、的中點，∴.

             又∵平面平面

        ∴平面                                         …………4分

        （Ⅱ）∵，，∴平面.

        又∵，∴平面.

        ∵平面,∴平面平面.               …………8分

        （Ⅲ）∵平面，∴是三棱錐的高.

        在Rt△中，.

            在Rt△中，.

         ∵，是的中點，

        ∴,

        故.        ………………12分

        （20）解：（Ⅰ）依題意得

                                     …………2分

         解得，                                             …………4分

        .       …………6分

           （Ⅱ）由已知得，                  …………8分

                                                                 ………………12分

        （21）解：（Ⅰ）

              令=0,得                        ………2分

        因為，所以可得下表：

        0

        +

        0

        -

        ㄊ

        極大

        ㄋ

                                                                  ………………4分

        因此必為最大值,∴，因此，

             ，

            即，∴，

         ∴                                       ……………6分

        （Ⅱ）∵，∴等價于， ………8分

         令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即，                 …………10分

        解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1].            ………………12分

        （22）解:（Ⅰ）由得，，

        所以直線過定點（3，0），即.                       …………………2分

         設(shè)橢圓的方程為,

        則,解得，

        所以橢圓的方程為.                    ……………………5分

        （Ⅱ）因為點在橢圓上運動,所以，      ………………6分

        從而圓心到直線的距離

        所以直線與圓恒相交.                             ……………………9分

        又直線被圓截得的弦長

        ，       …………12分

        由于,所以,則,

        即直線被圓截得的弦長的取值范圍是.  …………………14分

         


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