已知函數(shù)，數(shù)列的項滿足： ，（1）試求

（2） 猜想數(shù)列的通項，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【解析】第一問中，利用遞推關(guān)系,

,   

第二問中，由（1）猜想得：然后再用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明即可。

解: (1) ,

,    …………….7分

（2）由（1）猜想得：

（數(shù)學(xué)歸納法證明）i) ,  ,命題成立

ii) 假設(shè)時，成立

則時，

                              

綜合i),ii) : 成立

 

在數(shù)列中， 記

（Ⅰ）求、、、并推測；

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

【解析】第一問利用遞推關(guān)系可知，、、、，猜想可得

第二問中，①當(dāng)時，=，又，猜想正確

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，

當(dāng)時，

=

=，即當(dāng)時猜想也成立

兩步驟得到。

（2）①當(dāng)時，=，又，猜想正確

②假設(shè)當(dāng)時猜想成立，即，

當(dāng)時，

=

=，即當(dāng)時猜想也成立

由①②可知，對于任何正整數(shù)都有成立

 

已知，（其中）

⑴求及；

⑵試比較與的大小，并說明理由．

【解析】第一問中取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo)，得

取，則得到結(jié)論

第二問中，要比較與的大小，即比較：與的大小，歸納猜想可得結(jié)論當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

猜想：當(dāng)時，運用數(shù)學(xué)歸納法證明即可。

解：⑴取，則；                         …………1分

對等式兩邊求導(dǎo)，得，

取，則。       …………4分

⑵要比較與的大小，即比較：與的大小，

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；                              …………6分

猜想：當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由上述過程可知，時結(jié)論成立，

假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即，

當(dāng)時,

而

∴

即時結(jié)論也成立，

∴當(dāng)時，成立。                          …………11分

綜上得，當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時， 

 

已知遞增等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若不等式對任意恒成立，試猜想出實數(shù)的最小值，并證明．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中，利用設(shè)數(shù)列公差為，

由題意可知，即，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于，利用當(dāng)時，；當(dāng)時，；而，所以猜想，的最小值為然后加以證明即可。

解：（1）設(shè)數(shù)列公差為，由題意可知，即，

解得或（舍去）．      …………3分

所以，．        …………6分

（2）不等式等價于，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

而，所以猜想，的最小值為．     …………8分

下證不等式對任意恒成立．

方法一：數(shù)學(xué)歸納法．

當(dāng)時，，成立．

假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，

當(dāng)時，， …………10分

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，只要證  ，

只要證  ，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分

方法二：單調(diào)性證明．

要證 

只要證  ，  

設(shè)數(shù)列的通項公式，        …………10分

，    …………12分

所以對，都有，可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．

而，所以恒成立，

故的最小值為．