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已知點，動點N（x，y），設(shè)直線NP，NQ的斜率分別記為k₁，k₂，記（其中“?”可以是四則運算加、減、乘、除中的任意一種運算），坐標原點為O，點M（2，1）．
（Ⅰ）探求動點N的軌跡方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，動點N的軌跡再加上P，Q兩點記為曲線C，直線l平行于直線OM，且與曲線C交于A，B兩個不同的點．
（�。┤粼�點O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，試求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍．
（ⅱ）試求出△AOB面積的最大值及此時直線l的方程．

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

⑵取中點，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ………………………………………………………………14分

17.（1）∵直線過點，且與圓：相切，

設(shè)直線的方程為，即，　…………………………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即． …… …………………4分

（2）對于圓方程,令，得,即．又直線過點且與軸垂直，∴直線方程為，設(shè)，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……………… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，……………………… 12分

若圓經(jīng)過定點，只需令，從而有，解得，

∴圓總經(jīng)過定點坐標為． …………………………………………… 14分

18．⑴因為當時，，所以， ……4分

∴   ………………………………………………………6分

⑵設(shè)每小時通過的車輛為，則．即 ……12分

∵，…………………………………………………14分

∴，當且僅當，即時，取最大值．

答：當時，大橋每小時通過的車輛最多．………16分

19.（1）由，得

∴b、c所滿足的關(guān)系式為．……………………2分

（2）由，，可得．

方程，即，可化為，

令，則由題意可得，在上有唯一解，…4分

令，由，可得，

當時，由，可知是增函數(shù)；

當時，由，可知是減函數(shù)．故當時，取極大值．………6分

由函數(shù)的圖象可知，當或時，方程有且僅有一個正實數(shù)解．

故所求的取值范圍是或．  ……………………………………………8分

（3）由，，可得．由且且且．…10分

當時， ；當時，；

當時（），；當時，且；

當時，∪． ………………………16分

注：可直接通過研究函數(shù)與的圖象來解決問題．

20．（1）由，且等差數(shù)列的公差為，可知，

若插入的一個數(shù)在之間，則，，

消去可得，其正根為． ………………………………2分

若插入的一個數(shù)在之間，則，，

消去可得，此方程無正根．故所求公差．………4分

（2）設(shè)在之間插入個數(shù)，在之間插入個數(shù)，則，在等比數(shù)列中，

∵，…，，

∴……   ………………8分

又∵，，都為奇數(shù)，∴可以為正數(shù)，也可以為負數(shù)．

①若為正數(shù)，則…，所插入個數(shù)的積為；

②若為負數(shù)，…中共有個負數(shù)，

當是奇數(shù)，即N^*)時，所插入個數(shù)的積為；

當是偶數(shù)，即N^*）時，所插入個數(shù)的積為．

綜上所述，當N^*)時，所插入個數(shù)的積為；

當N^*）時，所插入個數(shù)的積為．…………10分

注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進行求解．

（3）∵在等比數(shù)列，由，可得，同理可得，

∴，即， …………………………12分

假設(shè)是有理數(shù)，若為整數(shù)，∵是正數(shù)，且，∴，

在中，∵是的倍數(shù)，故1也是的倍數(shù)，矛盾．

若不是整數(shù)，可設(shè)（其中為互素的整數(shù)，），

則有，即，

∵，可得，∴是x的倍數(shù)，即是x的倍數(shù)，矛盾．

∴ 是無理數(shù)．……………………………………16分