設(shè).由題意知.所以.即. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

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 已知命題及其證明：

（1）當(dāng)時(shí)，左邊＝1，右邊＝所以等式成立；

（2）假設(shè)時(shí)等式成立，即成立，

則當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)等式也成立。

由（1）（2）知，對(duì)任意的正整數(shù)n等式都成立。      

經(jīng)判斷以上評(píng)述

A．命題、推理都正確　　　　　　B命題不正確、推理正確　

C．命題正確、推理不正確　　　　  D命題、推理都不正確

 

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對(duì)一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　　①

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

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已知命題1+2+22+…+2n-1=2n-1及其證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=21-1=1，所以等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1 成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1，所以n=k+1時(shí)等式也成立，
由（1）（2）知，對(duì)任意的正整數(shù)n等式都成立，
判斷以上評(píng)述

[     ]

A.命題、推理都正確
B.命題正確、推理不正確
C.命題不正確、推理正確
D.命題、推理都不正確

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已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點(diǎn)（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因?yàn)橹本�與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．

又，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912284792138316/SYS201207091229220620471975_ST.files/image009.png">，即，

所以．

即．

所以，解得．

因?yàn)锳,B為不同的兩點(diǎn)，所以k=1/2．

于是存在直線L1滿足條件，其方程為y=1/2x

 

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一、選擇題

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示：設(shè)＝，則表示點(diǎn)與點(diǎn)（0，0）連線的斜率.當(dāng)該直線kx－y＝0與圓相切時(shí)，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值為.11.(文) B 

11.(文) A       提示：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），作PA垂直于準(zhǔn)線x＝－1，則

｜PA｜＝｜PF｜，當(dāng)A、P、Q在同一條直線上時(shí)，

｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

此時(shí)，點(diǎn)P到Q點(diǎn)距離與拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值，

P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，有1＝4x，x＝，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1），故選A。

11.（理） B提示：設(shè)則

又。

12.A    提示:如右圖所示,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由拋物線以F2為頂點(diǎn),F1為焦點(diǎn),可得其準(zhǔn)線的方

程為x＝3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由點(diǎn)P為雙曲線上的點(diǎn),根據(jù)雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故應(yīng)選A.

二、填空題：13-16文理    3   35

 

 

 

 

 

 

九、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)

一  選擇題

1．與圓相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有 （   ）

A．2條          B.3條         C.4條        D.6條

1.C提示： 在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點(diǎn)時(shí)，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.

2．在中，三內(nèi)角所對(duì)的邊是且成等差數(shù)列，那么直線與直線的位置關(guān)系是  （        ）

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示：成等差數(shù)列，

又，

，故兩直線重合。選B。

3.已知函數(shù)，集合，集合，則集合的面積是      

A．             B．            C．            D．

3.D提示： 集合即為：，集合即為： ，其面積等于半圓面積。

4．（文）已知直線m：交x軸于M，E是直線m上的點(diǎn)，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(  )

A．圓   B．橢圓   C．雙曲線    D．拋物線

4．（文）D．

4．（理）已知P在雙曲線上變動(dòng)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的重心G的軌跡方程是(  )

A．    B．

C．     D．

4．（理）C．提示：雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(6，0)．設(shè)雙曲線上任一點(diǎn)P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，

得，解得，代入，得為所求．

5.已知是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且，則方程表示（　　�。�

A.焦點(diǎn)在軸上的橢圓　　　　　B.焦點(diǎn)在軸上的橢圓

C.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線　　　　D.焦點(diǎn)在軸上的雙曲線

5.B提示：由，又是三角形的一個(gè)內(nèi)角，故，

再由，

結(jié)合解得

。

故方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓。選B。

或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線直接斷定。

6.過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于5，則這樣的直線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。� 　　 ）

A.有且僅有一條     B.有且僅有兩條      C.有無窮多條      D.不存在

6.B提示：該拋物線的通徑長(zhǎng)為4，而這樣的弦AB的長(zhǎng)為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。

或者（1）當(dāng)該直線的斜率不存在時(shí)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2；

（2）當(dāng)該直線的斜率存在時(shí)，設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程得

，由。故這樣的直線有且僅有兩條。

7.一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，（2，）是橢圓上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為　　　　　　　　　　　�。ā　　。�

A.     B.    C.     D.

7.A提示：設(shè)橢圓方程為，由成等差數(shù)列知，從而，故橢圓方程為，將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故所求的橢圓方程為。選A。

8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點(diǎn)的三角形形狀為（  ）

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等邊三角形

8. B.提示：由兩點(diǎn)間距離公式，得，，故選B.

9. 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是（�。�

A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則應(yīng)滿足

。選D。

10. （文）設(shè)離心率為e的雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線過點(diǎn)F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（　�。�

Ａ．      Ｂ． 

Ｃ．      Ｄ．

10. （理）已知兩個(gè)點(diǎn)M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點(diǎn)P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①②③④。其中屬于“B型直線”的是（      ）

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. （文）C  提示：由已知設(shè)漸近線的斜率為于是

，即故選C；

10. （理）B 提示：理解為以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點(diǎn)，又漸近線為：，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點(diǎn)，故選B；

11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為   （   ）

A、      B、     C、     D、2

11.B提示：，由    又

∴ 故選B項(xiàng)。

12．若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點(diǎn), 則△F1AB面積的最大值為(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示：設(shè)AB的方程為，代入橢圓方程得，。選B。

二  填空題

13.橢圓M：=1 (a>b>0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點(diǎn)，且 的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是         

13.

14. 1.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是以地球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)為m km，遠(yuǎn)地點(diǎn)為  n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短軸長(zhǎng)等于         

           

14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

∴c=，b=2=2.

15. 已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是                               。

15. 提示：滿足(a-2)(b-2)=2。設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 則a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中

①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；

②過定圓C上一定點(diǎn)A作該圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線有相同的焦點(diǎn).

其中真命題的序號(hào)為                 （寫出所有真命題的序號(hào)）

16. ③、④

三  解答題（７４分）

17. （本小題滿分12分）已知，直線：和圓：．

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）直線能否將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓�。繛槭裁�？

解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因?yàn)?sub>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

所以，斜率的取值范圍是．

（2）不能．由（1）知的方程為，其中．

圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對(duì)的圓心角小于．所以不能將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段�。�

18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，對(duì)于△ABC，求的值

18.解：（1）由題意知：

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.        

（2）∵點(diǎn)C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

在△ABC中，由正弦定理，  ，

∴＝ .       

19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率為,一個(gè)焦點(diǎn)是(為大于0的常數(shù)).

 （1）求橢圓的方程;

 （2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn),且過點(diǎn)

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